Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes (LaTeX)
Pour un complexe non nul z, on appelle argument de z toute mesure \theta de l'angle orienté (\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM}), où M est le point d'affixe z et \overrightarrow{u} le premier vecteur du repère. On note \arg(z)=\theta\ (2\pi) : l'argument est défini modulo 2\pi (on peut ajouter n'importe quel multiple de 2\pi).
Si |z|=r et \arg(z)=\theta, alors z=r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta). Pour z=a+\mathrm{i}b, on a donc \cos\theta=\dfrac{a}{r} et \sin\theta=\dfrac{b}{r}.
Le complexe 0 n'a pas d'argument, puisque le point correspondant est l'origine et qu'aucune direction n'est définie. Le couple (r,\theta) formé du module et d'un argument constitue les coordonnées polaires du point M : il détermine z de manière unique dès que l'on fixe \theta dans un intervalle de longueur 2\pi.
Formules
z=r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta) avec r=|z|, \theta=\arg(z).
\arg(z)=0 ou \pi si z réel non nul ; \pm\dfrac{\pi}{2} si z imaginaire pur non nul.
Méthodes type bac
Déterminer un argument : calculer r=|z|, en déduire \cos\theta=\dfrac{a}{r} et \sin\theta=\dfrac{b}{r}, puis identifier l'angle remarquable selon le quadrant. Par exemple \sqrt3-\mathrm{i} a pour module 2, \cos\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}, \sin\theta=-\dfrac12, donc \theta=-\dfrac{\pi}{6}.
Utiliser le quadrant : les signes de a et de b situent M dans l'un des quatre quadrants, ce qui lève l'ambiguïté entre angles ayant même cosinus.
Vérifier : un argument peut toujours être ramené dans ]-\pi;\pi] en ajoutant un multiple de 2\pi.
Utiliser les symétries : \arg(\overline z)=-\arg(z) (symétrie par rapport à l'axe des réels) et \arg(-z)=\arg(z)+\pi (symétrie par rapport à l'origine).
Pièges
0 n'a pas d'argument ; ne jamais écrire \arg(0).
\cos\theta seul ne détermine pas \theta : il faut aussi le signe de \sin\theta (donc de b) pour choisir le bon quadrant.
L'argument est défini modulo 2\pi : deux écritures comme \dfrac{3\pi}{2} et -\dfrac{\pi}{2} désignent le même argument.
Ne pas confondre l'argument (un angle) et le module (une distance) : ce sont les deux coordonnées polaires du point.
Un réel négatif a pour argument \pi (et non 0) ; un imaginaire pur de partie négative a pour argument -\dfrac{\pi}{2}.
Pour l'épreuve
L'argument code la direction du point M. La méthode standard (module, puis cosinus et sinus, puis quadrant) est attendue à chaque exercice. Connais par cœur les arguments des complexes de référence (1, \mathrm{i}, -1, 1+\mathrm{i}, \sqrt3+\mathrm{i}…). Le module et l'argument ouvrent la voie à la forme trigonométrique puis exponentielle, indispensables pour les puissances. L'argument intervient aussi dans les questions de géométrie : un angle orienté (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}) se calcule comme \arg\!\left(\dfrac{z_B}{z_A}\right). Soigne la justification du quadrant, qui est souvent le point évalué dans le barème.