Conjugué d'un nombre complexe

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Définitions et théorèmes (LaTeX)

Le conjugué d'un nombre complexe z=a+\mathrm{i}b (avec a,b réels) est le complexe \overline{z}=a-\mathrm{i}b. Dans le plan complexe, le point d'affixe \overline{z} est le symétrique par rapport à l'axe des abscisses (axe des réels) du point d'affixe z.

Théorème central : pour tout complexe z, le produit z\,\overline{z}=a^2+b^2 est un réel positif égal à |z|^2. C'est cette propriété qui permet de rendre réel un dénominateur. La conjugaison est une involution (\overline{\overline z}=z) et elle est compatible avec toutes les opérations : on peut conjuguer une somme, un produit, un quotient ou une puissance en conjuguant chaque morceau. On en déduit deux caractérisations très utilisées : z est réel si et seulement si z=\overline z, et z est imaginaire pur si et seulement si z=-\overline z.

Formules

  • \overline{z}=a-\mathrm{i}b et \overline{\overline{z}}=z.
  • \overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'} ; \overline{z\,z'}=\overline{z}\,\overline{z'} ; \overline{z^n}=\left(\overline{z}\right)^n.
  • \overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}} pour z'\ne 0.
  • z\,\overline{z}=a^2+b^2=|z|^2.
  • \mathrm{Re}(z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2} ; \mathrm{Im}(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2\mathrm{i}}.

Méthodes type bac

  • Montrer qu'un complexe est réel : prouver z=\overline{z}, souvent plus rapide que de calculer la partie imaginaire. C'est particulièrement efficace pour une expression compliquée dont on ne veut pas la forme algébrique.
  • Montrer qu'un complexe est imaginaire pur : prouver z=-\overline{z}, c'est-à-dire z+\overline{z}=0.
  • Conjuguer une expression : appliquer les propriétés (somme, produit, quotient, puissance) en remplaçant chaque facteur par son conjugué, sans repasser par la forme algébrique. Par exemple \overline{\dfrac{z-3\mathrm{i}}{z-2}}=\dfrac{\overline z+3\mathrm{i}}{\overline z-2}.
  • Rationaliser un quotient : multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur, ce qui ramène le dénominateur au réel z'\,\overline{z'}=|z'|^2.

Pièges

  • \overline{\mathrm{i}}=-\mathrm{i} : l'unité imaginaire change de signe par conjugaison.
  • \overline{z} a le même module que z mais l'argument opposé.
  • Le conjugué d'un produit est le produit des conjugués, mais attention à conjuguer chaque constante (par exemple \overline{3\mathrm{i}z}=-3\mathrm{i}\,\overline{z}).
  • Dans \mathrm{Im}(z)=\dfrac{z-\overline z}{2\mathrm{i}}, ne pas oublier le facteur \mathrm{i} au dénominateur : oublier \mathrm{i} donne un imaginaire pur au lieu d'un réel.
  • z\,\overline z est toujours un réel positif ; si un calcul donne une partie imaginaire non nulle, c'est qu'il y a une erreur.

Pour l'épreuve

Le conjugué est l'outil le plus rentable du chapitre : il sert à diviser, à caractériser réel/imaginaire pur, et à conjuguer des expressions entières d'un coup. Mémorise z\,\overline{z}=|z|^2 et les formules de \mathrm{Re} et \mathrm{Im}. Dans les questions de type bac, préfère z=\overline{z} à un long calcul de partie imaginaire pour prouver qu'un nombre est réel. Les propriétés de conjugaison se combinent avec celles du module et de l'argument que tu verras plus loin : |\overline z|=|z| et \arg(\overline z)=-\arg(z). C'est ce qui permet de relier la symétrie par rapport à l'axe des réels et la conjugaison dans toutes les configurations géométriques.