Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
Soit a et b deux entiers relatifs. On dit que a divise b, et on note a\mid b, lorsqu'il existe un entier relatif k tel que b=ka. On dit alors que a est un diviseur de b, ou que b est un multiple de a.
Cas particuliers importants :
- Tout entier divise 0 : a\mid 0 car 0=0\times a.
- 1 et -1 divisent tout entier relatif.
- Si b\neq 0 et a\mid b, alors |a|\le|b| : un entier non nul possède donc un nombre fini de diviseurs.
Propriétés fondamentales (à savoir démontrer) :
- Transitivité : si a\mid b et b\mid c alors a\mid c.
- Combinaison linéaire : si a\mid b et a\mid c, alors a\mid(bu+cv) pour tous u,v\in\mathbb{Z}.
- Antisymétrie : si a\mid b et b\mid a (entiers non nuls), alors a=\pm b.
Formules
a\mid b \iff \exists\,k\in\mathbb{Z},\;b=ka.
a\mid b et a\mid c \implies a\mid(b+c) et a\mid(b-c).
Décomposition utile : n^2+5n+6=(n+2)(n+3).
Méthodes type bac
Lister les diviseurs d'un entier : on cherche tous les couples (d,d') tels que d\times d'=N, en s'arrêtant à \sqrt{N}.
Résoudre (n+\alpha)\mid N avec N constant : n+\alpha parcourt l'ensemble des diviseurs (positifs et négatifs) de N. Ne pas oublier les diviseurs négatifs si n\in\mathbb{Z}.
Résoudre (n+\alpha)\mid P(n) : on écrit P(n)=(n+\alpha)Q(n)+r (division ou astuce algébrique). Comme (n+\alpha) divise (n+\alpha)Q(n), la divisibilité équivaut à (n+\alpha)\mid r.
Détecter une divisibilité d'un produit : pour montrer que (n+2) divise n^2+5n+6, il suffit de factoriser n^2+5n+6=(n+2)(n+3), faisant apparaître (n+2) en facteur.
Démontrer une propriété de divisibilité valable pour tout n : on peut soit factoriser, soit raisonner par congruences, soit par récurrence selon l'expression rencontrée.
Pièges
Oublier les diviseurs négatifs : si n\in\mathbb{Z}, n-3\mid 5 donne n-3\in\{-5,-1,1,5\}.
Confondre « diviseur » et « multiple » : a\mid b signifie que a est petit (le diviseur) et b grand (le multiple).
Croire que 0 divise tout : c'est faux, 0 ne divise que 0.
Écrire b=ka avec k\in\mathbb{N} alors que k doit pouvoir être négatif.
Oublier la condition n\in\mathbb{N} ou n\in\mathbb{Z} de l'énoncé : elle change la liste des solutions possibles, car elle peut exclure certains diviseurs (par exemple n+2\ge 2 élimine les diviseurs 1 et négatifs).
Pour l'épreuve
La divisibilité est l'outil de base de toute l'arithmétique : maîtrise la définition par l'existence d'un entier k, et l'astuce de la combinaison linéaire qui sert dans presque tous les exercices. Sache toujours ramener un problème de divisibilité d'un polynôme à la divisibilité d'une constante : c'est la technique attendue par le correcteur, à rédiger explicitement. Pense aussi à vérifier le domaine de l'inconnue (\mathbb{N} ou \mathbb{Z}) pour ne lister que les solutions admissibles, et à présenter la liste des diviseurs de façon ordonnée pour ne rien oublier. Une rédaction propre énonce d'abord la propriété de combinaison linéaire utilisée, puis applique le raisonnement pas à pas.