Division de polynômes dans C

Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes (LaTeX)

Diviser un polynôme P par (z-a) consiste à écrire P(z)=(z-a)\,Q(z)+r, où Q est le quotient (de degré \deg P-1) et r une constante, le reste.

Théorème du reste : le reste de la division de P par (z-a) vaut P(a). Conséquence (théorème du facteur) : a est racine de P si et seulement si (z-a) divise P, c'est-à-dire P(z)=(z-a)Q(z).

Formules

  • P(z)=(z-a)Q(z)+P(a).
  • Si P(a)=0 : P(z)=(z-a)Q(z) avec \deg Q=\deg P-1.
  • Identification (degré 3) : (z-a)(z^2+bz+c)=z^3+(b-a)z^2+(c-ab)z-ac.

Méthodes type bac

  • Trouver une racine évidente : tester z=1, z=-1, z=\mathrm{i}… puis vérifier P(a)=0.
  • Factoriser par (z-a) : poser P(z)=(z-a)(\dots) et identifier les coefficients, ou poser la division euclidienne (potence).
  • Résoudre P(z)=0 : après factorisation, résoudre chaque facteur (notamment le second degré avec le discriminant).

Pièges

  • Le reste de la division par (z-a) est une constante, pas un polynôme de degré 1.
  • À ne pas confondre : P(a)=0 signifie que a est racine, donc le reste est nul (et non que a est le reste).
  • Lors de l'identification, vérifier la cohérence de tous les coefficients, y compris le terme constant.
  • Le degré du quotient vaut \deg P-1 : pour un polynôme de degré 3 divisé par (z-a), le quotient est du second degré.
  • Si la racine a est complexe, l'identification fait apparaître des coefficients complexes ; il faut séparer parties réelle et imaginaire dans chaque égalité.

Méthodes type bac (suite)

La technique la plus rapide en terminale est l'identification : on devine le degré du quotient, on développe le produit et on résout le système d'égalités de coefficients. La division par potence reste utile et fiable, surtout si plusieurs coefficients sont en jeu. Une troisième voie consiste à factoriser « à la main » en regroupant astucieusement les termes, comme dans z^3+z^2+z+1=z^2(z+1)+(z+1)=(z+1)(z^2+1), lorsque la structure du polynôme s'y prête.

Pour l'épreuve

Les exercices suivent presque toujours le même schéma : on donne (ou on demande de vérifier) une racine, puis on factorise par (z-a), enfin on résout le facteur du second degré dans \mathbb{C}. Connais le théorème du reste pour repérer instantanément une racine et justifie chaque factorisation par un développement de contrôle. Le théorème du reste est aussi utile seul : on peut demander le reste de la division de P par (z-a) sans poser l'opération, simplement en calculant P(a). Pense enfin à utiliser la calculatrice pour évaluer P en quelques entiers et repérer une racine évidente avant de te lancer dans la factorisation.