Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
Théorème (division euclidienne). Pour tout entier relatif a et tout entier naturel b\neq 0, il existe un unique couple (q,r) d'entiers tel que
a=bq+r \quad\text{et}\quad 0\le r<b.
q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b. L'unicité est essentielle : c'est elle qui rend la notion bien définie.
Le lien avec la divisibilité est immédiat : b\mid a si et seulement si le reste r est nul.
Formules
a=bq+r avec 0\le r<b.
Parité : n=2k (pair) ou n=2k+1 (impair).
(2k)^2=4k^2 et (2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1.
(2k+1)^2=4k(k+1)+1, et comme k(k+1) est pair, (2k+1)^2\equiv 1\pmod 8.
Méthodes type bac
Trouver q et r : on calcule q=\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor (partie entière par défaut), puis r=a-bq. Vérifier ensuite 0\le r<b.
Dividende négatif : le quotient est l'entier immédiatement inférieur ou égal à a/b. Par exemple, -47/6\approx-7,8, donc q=-8 et r=-47-6\times(-8)=1.
Raisonner selon le reste : pour démontrer une propriété modulo b, on écrit n=bq+r avec r\in\{0,\dots,b-1\} et on traite chaque cas. C'est la disjonction de cas typique des exercices d'arithmétique.
Pièges
Donner un reste r\ge b ou r<0 : c'est la faute la plus fréquente, surtout avec un dividende négatif.
Confondre quotient et reste, ou oublier de vérifier l'encadrement 0\le r<b.
Pour les carrés : ne pas oublier que k(k+1) est toujours pair, ce qui fait passer de modulo 4 à modulo 8.
Croire que le reste de la division par b d'une somme est la somme des restes : c'est faux en général, il faut réduire le résultat final modulo b.
Exemples détaillés
Division de -47 par 6 : on cherche le plus grand multiple de 6 inférieur ou égal à -47. Comme 6\times(-8)=-48\le-47 et 6\times(-7)=-42>-47, on prend q=-8, puis r=-47-(-48)=1. On a bien 0\le 1<6.
Restes d'un carré modulo 4 : si n=2k, n^2=4k^2 a pour reste 0 ; si n=2k+1, n^2=4(k^2+k)+1 a pour reste 1. Aucun carré n'est donc congru à 2 ou 3 modulo 4.
Pour l'épreuve
La division euclidienne fonde la notion de congruence et l'algorithme d'Euclide. La compétence clé attendue est la disjonction de cas selon le reste : sache écrire n=bq+r et balayer toutes les valeurs de r possibles. C'est l'outil pour démontrer qu'un entier d'une certaine forme ne peut pas être un carré, ou pour étudier la périodicité des restes d'une suite. Soigne toujours la vérification finale de l'encadrement 0\le r<b, particulièrement délicate avec les dividendes négatifs, où le quotient s'arrondit vers le bas.