Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes (LaTeX)
Pour un réel \theta, on pose \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta. Tout complexe non nul z admet alors une forme exponentielle z=r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}, où r=|z| et \theta=\arg(z). Cette notation respecte les règles de l'exponentielle : les arguments s'additionnent comme des exposants, et la cohérence avec \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+\theta')}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'} se vérifie via les formules d'addition de la trigonométrie. C'est exactement la même information que la forme trigonométrique r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta), mais sous une écriture qui rend les calculs de produits et de puissances beaucoup plus lisibles.
C'est la forme la plus puissante pour multiplier, diviser et surtout élever à une puissance, car \left(r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)^n=r^n\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta} (Moivre). L'écriture exponentielle est unique si l'on impose r>0 et que l'on choisit un argument \theta dans un intervalle de longueur 2\pi, par exemple ]-\pi;\pi]. Le complexe 0 n'a pas de forme exponentielle, puisqu'il n'a pas d'argument.
Passer à l'exponentielle : calculer le module r, puis l'argument \theta (cosinus, sinus, quadrant), et écrire r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}. Ainsi \sqrt3+\mathrm{i}=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/6}.
Calculer une puissance : passer à la forme exponentielle, appliquer r^n\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}, puis réduire l'angle modulo 2\pi. Par exemple (\sqrt3+\mathrm{i})^6=2^6\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-64.
Multiplier ou diviser : multiplier les modules et additionner les arguments, r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\times r'\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}=rr'\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+\theta')}.
Revenir à l'algébrique : développer r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta) avec les valeurs remarquables.
Déterminer quand z^n est réel ou imaginaire pur : résoudre n\theta\equiv 0\ (\pi) pour un réel, n\theta\equiv\dfrac{\pi}{2}\ (\pi) pour un imaginaire pur.
Pièges
Dans z=r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}, on impose r>0 : un module négatif est interdit (changer le signe revient à ajouter \pi à l'argument).
Réduire l'angle n\theta modulo 2\pi avant de conclure, sinon le résultat est illisible.
\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right|=1 toujours : l'exponentielle imaginaire pure est de module 1.
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} n'est jamais nul, donc r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=0 impose r=0, c'est-à-dire z=0.
Le conjugué s'obtient en changeant le signe de l'argument : \overline{r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}=r\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}, à ne pas confondre avec l'inverse \dfrac1r\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}.
Pour l'épreuve
La forme exponentielle est l'outil roi pour les puissances de complexes : transformer z en r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} rend (1+\mathrm{i})^{2024} immédiat. Sache passer sans hésiter entre les trois écritures (algébrique, trigonométrique, exponentielle). Pense à réduire systématiquement l'argument modulo 2\pi et à mémoriser l'identité d'Euler \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}+1=0. Cette écriture est aussi indispensable pour résoudre les équations z^n=A (racines n-ièmes) : c'est elle qui transforme la résolution d'une équation de degré n en un simple partage de l'argument en n parts. Adopte-la comme réflexe dès qu'apparaît une puissance ou une racine.