Équation du second degré dans C à coefficients réels

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Définitions et théorèmes (LaTeX)

On considère une équation du second degré az^2+bz+c=0 avec a\ne 0 et a,b,c réels, d'inconnue z\in\mathbb{C}. Le discriminant est \Delta=b^2-4ac.

  • Si \Delta>0 : deux racines réelles distinctes z_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
  • Si \Delta=0 : une racine réelle double z_0=-\dfrac{b}{2a}.
  • Si \Delta<0 : deux racines complexes conjuguées z_{1,2}=\dfrac{-b\pm\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}.

Théorème : à coefficients réels, les racines non réelles sont toujours conjuguées l'une de l'autre. C'est l'un des grands apports des nombres complexes : alors que dans \mathbb{R} une équation du second degré de discriminant négatif n'a aucune solution, dans \mathbb{C} elle en a toujours deux. La somme et le produit des racines gardent les mêmes expressions qu'en première : la somme vaut -\dfrac{b}{a} et le produit \dfrac{c}{a}, que les racines soient réelles ou complexes. Ces relations permettent de vérifier rapidement un résultat et de reconstruire le trinôme à partir de ses racines.

Formules

  • \Delta=b^2-4ac.
  • \Delta<0 : z=\dfrac{-b\pm\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}.
  • Somme : z_1+z_2=-\dfrac{b}{a} ; produit : z_1 z_2=\dfrac{c}{a}.
  • Factorisation : az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2).

Méthodes type bac

  • Résoudre dans \mathbb{C} : calculer \Delta ; si \Delta<0, écrire \sqrt{-\Delta} (réel positif) et appliquer la formule z=\dfrac{-b\pm\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}. Par exemple, pour z^2-2z+5=0, \Delta=-16, \sqrt{16}=4, d'où z=1\pm 2\mathrm{i}.
  • Vérifier : contrôler avec la somme -\dfrac{b}{a} et le produit \dfrac{c}{a} des racines. Pour z^2-2z+5, somme =2 et produit =5 : cohérent avec 1\pm 2\mathrm{i}.
  • Factoriser un trinôme dans \mathbb{C} : une fois les racines trouvées, écrire a(z-z_1)(z-z_2).
  • Résoudre une équation bicarrée z^2=A avec A réel négatif : écrire A=-k (k>0) et conclure z=\pm\mathrm{i}\sqrt k.

Pièges

  • Sous la racine, on prend \sqrt{-\Delta} qui est un réel positif (car -\Delta>0), pas \sqrt{\Delta}.
  • Les racines complexes sont conjuguées uniquement lorsque les coefficients sont réels ; cette propriété tombe si un coefficient est complexe.
  • z^2=-k (avec k>0) a deux solutions \pm\mathrm{i}\sqrt k, pas une seule.
  • Ne pas oublier le coefficient a au dénominateur de la formule des racines : c'est 2a, pas 2.
  • Le discriminant garde la même définition \Delta=b^2-4ac qu'en première ; seule l'interprétation du cas \Delta<0 change (deux solutions complexes au lieu d'aucune solution).

Pour l'épreuve

C'est l'un des exercices les plus fréquents : maîtrise le calcul de \Delta et l'écriture des racines avec \mathrm{i} quand \Delta<0. Sache que les racines sont conjuguées et utilise somme et produit pour vérifier sans recalculer. La factorisation a(z-z_1)(z-z_2) est souvent réinvestie dans les questions de factorisation de polynômes. Cette résolution est presque toujours la première étape d'un problème plus long : après avoir trouvé une racine évidente d'un polynôme de degré 3, on factorise par (z-a) et l'on retombe sur une équation du second degré à résoudre exactement avec cette méthode. Garde donc le réflexe du discriminant chaque fois qu'un facteur du second degré apparaît.