Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes (LaTeX)
Théorème de d'Alembert-Gauss (admis) : tout polynôme de degré n\ge 1 à coefficients complexes possède au moins une racine dans \mathbb{C}, et se factorise donc en produit de n facteurs du premier degré (comptés avec leur multiplicité).
En pratique on factorise pas à pas : si P(a)=0, alors P(z)=(z-a)Q(z), et l'on poursuit sur Q. Lorsque les coefficients sont réels, les racines non réelles vont par paires conjuguées : si z_0 est racine, \overline{z_0} l'est aussi, et le produit (z-z_0)(z-\overline{z_0})=z^2-2\mathrm{Re}(z_0)z+|z_0|^2 est un trinôme à coefficients réels.
z^2-Sz+P=(z-z_1)(z-z_2) avec S=z_1+z_2, P=z_1 z_2.
a z^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2).
Méthodes type bac
Factoriser complètement dans \mathbb{C} : repérer une racine, factoriser par (z-a), résoudre le quotient, puis écrire tous les facteurs du premier degré. Un polynôme de degré n se décompose ainsi en exactement n facteurs.
Reconstruire un polynôme à partir de racines connues : utiliser somme et produit (z^2-Sz+P), ou former directement les facteurs (z-z_1)(z-z_2)\dots. Par exemple, un trinôme unitaire de racines 3\pm 2\mathrm{i} est z^2-6z+13.
Exploiter la conjugaison quand les coefficients sont réels pour obtenir gratuitement la deuxième racine complexe : si 3-2\mathrm{i} est racine, alors 3+2\mathrm{i} l'est aussi.
Factoriser une différence/somme de carrés : z^2-k^2=(z-k)(z+k) et, version complexe, z^2+k^2=(z-\mathrm{i}k)(z+\mathrm{i}k).
Pièges
La conjugaison des racines vaut seulement si les coefficients sont réels ; ne pas l'appliquer si un coefficient est complexe.
z^2+k^2 se factorise dans \mathbb{C} (contrairement à \mathbb{R}) : ne pas le déclarer irréductible.
Le coefficient dominant a doit apparaître devant le produit : az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2).
Un polynôme de degré n possède n racines comptées avec leur multiplicité : une racine double compte deux fois dans la factorisation.
Vérifier qu'on a bien obtenu autant de facteurs du premier degré que le degré du polynôme avant de conclure que la factorisation est complète.
Pour l'épreuve
La factorisation dans \mathbb{C} est l'aboutissement des chapitres « équation du second degré » et « division de polynômes ». L'enchaînement type est : racine évidente, factorisation par (z-a), résolution du second degré. Quand les coefficients sont réels, gagne du temps en invoquant les racines conjuguées. Vérifie toujours ta factorisation par un développement rapide. Le théorème de d'Alembert-Gauss garantit qu'une factorisation complète existe toujours dans \mathbb{C}, ce qui n'est pas le cas dans \mathbb{R} : c'est l'un des grands intérêts d'avoir introduit les nombres complexes. Sache reconnaître les structures usuelles (z^2+k^2, z^4-1) pour factoriser sans calcul long.