Graphe probabiliste associé à une chaîne de Markov

Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Un graphe probabiliste est un graphe orienté pondéré : les sommets sont des états, et chaque arc de l'état i vers l'état j porte la probabilité de transition t_{i,j}. La somme des probabilités sortant de chaque état vaut 1.

La matrice de transition T=(t_{i,j}) est carrée d'ordre n (nombre d'états) ; chacune de ses lignes a pour somme 1 : on dit que T est stochastique.

L'état probabiliste au rang n est une matrice ligne P_n dont les composantes sont les probabilités d'être dans chaque état. L'évolution suit la chaîne de Markov : P_{n+1}=P_n\times T, \qquad\text{d'où}\qquad P_n=P_0\times T^n.

État stable. Un état P est stable (ou régime permanent) si P\times T=P et si la somme de ses composantes vaut 1. On le détermine en résolvant ce système linéaire.

Théorème (convergence). Si une puissance de T a tous ses coefficients strictement positifs, alors P_n converge vers l'unique état stable, quel que soit l'état initial P_0.

Formules

  • P_{n+1}=P_nT et P_n=P_0T^n.
  • État stable : PT=P avec \sum composantes =1.
  • Pour 2 états : on résout t_{1,1}a+t_{2,1}b=a avec a+b=1.

Méthodes type bac

  • Écrire T : lire l'énoncé, placer en ligne i les probabilités de quitter l'état i, vérifier que chaque ligne somme à 1.
  • Calculer P_1,P_2 : effectuer le produit ligne fois matrice, étape par étape.
  • État stable : poser PT=P, ajouter a+b=1, résoudre le système (deux équations, deux inconnues).
  • Convergence : à long terme P_n tend vers P (état stable) si la condition de positivité est remplie.

Pièges

  • L'état est une matrice ligne : on calcule P_nT (ligne \times matrice), pas TP_n.
  • Vérifier que chaque ligne de T somme à 1 : une erreur ici fausse tout.
  • L'équation PT=P seule ne suffit pas : il faut ajouter \sum composantes =1 pour fixer l'état stable.
  • Ne pas oublier que les probabilités sont positives et inférieures ou égales à 1.

Pour l'épreuve

C'est un grand classique du programme « expertes ». On attend l'écriture de T, le calcul des premiers états, et surtout la détermination de l'état stable par résolution d'un système. La calculatrice calcule T^n et les états successifs, mais la mise en équation de l'état stable est l'attendu central de la rédaction. Prends garde au sens de lecture du graphe : la probabilité portée par l'arc de l'état i vers l'état j se place en ligne i, colonne j, et la somme de chaque ligne doit valoir 1. Enfin, l'interprétation finale compte : un état stable \begin{pmatrix} \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix} signifie qu'à long terme deux tiers du système se trouvent dans le premier état et un tiers dans le second, quelle que soit la situation de départ.