L'ensembles des nombres complexes : définitions et opérations
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Définitions et théorèmes (LaTeX)
L'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes est l'ensemble des nombres de la forme z=a+\mathrm{i}b, où a et b sont des réels et où \mathrm{i} est un nombre tel que \mathrm{i}^2=-1. Cette écriture, appelée forme algébrique, est unique : si a+\mathrm{i}b=a'+\mathrm{i}b' avec a,b,a',b' réels, alors a=a' et b=b'.
On appelle a=\mathrm{Re}(z) la partie réelle et b=\mathrm{Im}(z) la partie imaginaire (attention : c'est un réel, pas \mathrm{i}b). Le complexe z est réel lorsque \mathrm{Im}(z)=0 et imaginaire pur lorsque \mathrm{Re}(z)=0. L'ensemble \mathbb{R} est inclus dans \mathbb{C}.
Produit : (a+\mathrm{i}b)(c+\mathrm{i}d)=(ac-bd)+\mathrm{i}(ad+bc).
Carré : (a+\mathrm{i}b)^2=a^2-b^2+2\mathrm{i}ab.
Produit conjugué : (a+\mathrm{i}b)(a-\mathrm{i}b)=a^2+b^2.
Inverse : \dfrac{1}{a+\mathrm{i}b}=\dfrac{a-\mathrm{i}b}{a^2+b^2} pour a+\mathrm{i}b\ne 0.
Puissances de \mathrm{i} : \mathrm{i}^2=-1, \mathrm{i}^3=-\mathrm{i}, \mathrm{i}^4=1, cycle de période 4.
Méthodes type bac
Mettre un quotient sous forme algébrique : multiplier le haut et le bas par la quantité conjuguée du dénominateur, ce qui rend le dénominateur réel (a^2+b^2), puis séparer partie réelle et partie imaginaire. Par exemple, pour \dfrac{3+\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}, on multiplie par 2+\mathrm{i} : le dénominateur devient 4+1=5 et le numérateur 5+5\mathrm{i}, d'où le résultat 1+\mathrm{i}.
Calculer \mathrm{i}^n : déterminer le reste r de la division de n par 4, et utiliser \mathrm{i}^n=\mathrm{i}^r. On retient le cycle \mathrm{i}^0=1,\ \mathrm{i}^1=\mathrm{i},\ \mathrm{i}^2=-1,\ \mathrm{i}^3=-\mathrm{i}, qui se répète indéfiniment.
Identifier un ensemble de points : poser z=x+\mathrm{i}y, traduire la condition en équations sur x et y, reconnaître une droite ou un cercle. Ainsi z+\overline{z}=4 équivaut à 2x=4, c'est-à-dire la droite x=2.
Résoudre une petite équation dans \mathbb{C} : poser z=x+\mathrm{i}y, identifier partie réelle et partie imaginaire, et résoudre le système réel obtenu.
Pièges
La partie imaginaire de z=a+\mathrm{i}b est b (un réel), pas \mathrm{i}b.
\mathrm{i}^2=-1, donc \sqrt{-1} n'est pas une notation valide en terminale (on évite le symbole racine sur un réel négatif).
Pour un quotient, ne pas oublier de multiplier aussi le numérateur par le conjugué.
Dans un produit (a+\mathrm{i}b)(c+\mathrm{i}d), le terme \mathrm{i}b\times\mathrm{i}d=\mathrm{i}^2 bd=-bd change de signe : c'est la source d'erreur la plus fréquente.
L'écriture algébrique d'un complexe est unique : deux complexes sont égaux si et seulement si parties réelles et parties imaginaires coïncident, ce qui justifie l'identification terme à terme.
Pour l'épreuve
La forme algébrique est la base de tout le chapitre : sache additionner, multiplier et diviser sans erreur de signe sur \mathrm{i}^2=-1. La technique du conjugué pour rationaliser un dénominateur est exigée à chaque devoir. Vérifie toujours la cohérence d'un résultat en repérant si le complexe obtenu devait être réel ou imaginaire pur. Les puissances de \mathrm{i} apparaissent dès qu'on développe une puissance de complexe : automatise le passage par le reste modulo 4. Enfin, garde en tête que l'unicité de l'écriture algébrique transforme une égalité de complexes en un système de deux équations réelles, ce qui est la clé de nombreuses questions de détermination d'inconnues.