Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes (LaTeX)
Le coefficient binomial \binom{n}{k} compte le nombre de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments. Il vaut \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!} pour 0\le k\le n.
La formule du binôme de Newton affirme que pour tous nombres (réels ou complexes) a et b et tout entier naturel n :
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}.
Les coefficients \binom{n}{k} se lisent sur la ligne n du triangle de Pascal, construit grâce à la relation de Pascal \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}.
Relation de Pascal : \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}.
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n et \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}=0 pour n\ge 1.
Méthodes type bac
Développer (a+b)^n : écrire la somme \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}, calculer chaque terme, puis simplifier. On lit les coefficients sur la ligne n du triangle de Pascal.
Développer une puissance d'un complexe : appliquer le binôme avec b=\mathrm{i}c, remplacer les puissances de \mathrm{i} par leur valeur dans le cycle, regrouper réel et imaginaire. Par exemple pour (1+\mathrm{i})^6, les coefficients sont 1,6,15,20,15,6,1 et les puissances \mathrm{i}^k valent 1,\mathrm{i},-1,-\mathrm{i},1,\mathrm{i},-1.
Prouver une identité combinatoire : choisir des valeurs particulières de a et b (souvent a=b=1 ou a=1,b=-1). Avec a=b=1 on obtient \sum_k\binom{n}{k}=2^n ; avec a=1,b=-1 on obtient \sum_k(-1)^k\binom{n}{k}=0.
Construire le triangle de Pascal : partir de bords valant 1 et ajouter, pour chaque case intérieure, les deux nombres situés juste au-dessus.
Pièges
L'exposant de a et celui de b ont une somme constante égale à n : si a est à la puissance k, alors b est à la puissance n-k.
Ne pas confondre \binom{n}{k} (coefficient) et la puissance ; les deux apparaissent dans chaque terme.
Pour une puissance de complexe, bien réduire \mathrm{i}^k avec le cycle 1,\mathrm{i},-1,-\mathrm{i}.
La formule du binôme suppose que a et b commutent, ce qui est vrai pour des nombres mais faux pour des matrices : ne l'appliquer qu'à des scalaires.
\binom{n}{k} n'est défini que pour 0\le k\le n ; en dehors de cet intervalle il vaut 0.
Pour l'épreuve
La formule du binôme sert surtout à développer des puissances de complexes et à établir des identités sur les coefficients binomiaux. Connais par cœur les premières lignes du triangle de Pascal jusqu'à n=6. Pour une puissance comme (1+\mathrm{i})^n, il est souvent plus rapide de passer par (1+\mathrm{i})^2=2\mathrm{i} ; le binôme reste exigé lorsqu'on demande explicitement la somme. La symétrie \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} et la relation de Pascal permettent de retrouver rapidement un coefficient oublié. Enfin, le binôme prépare la linéarisation des puissances de cosinus et sinus via les formules d'Euler, où l'on développe (\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta})^n.