Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
Petit théorème de Fermat. Soit p un nombre premier.
- Forme 1 : si a est un entier non divisible par p (c'est-à-dire \mathrm{PGCD}(a,p)=1), alors
a^{p-1}\equiv1\pmod p.
- Forme 2 : pour tout entier a,
a^p\equiv a\pmod p.
Le passage de la forme 1 à la forme 2 se fait en multipliant par a, et en traitant à part le cas p\mid a (où a\equiv0 donc a^p\equiv0\equiv a).
L'hypothèse p premier est essentielle : le théorème est faux pour p composé.
Réduire un grand exposant : pour a^k\pmod p avec p\nmid a, écrire k=(p-1)q+s ; alors a^k=(a^{p-1})^q\times a^s\equiv a^s\pmod p. Exemple : 7^{222}=(7^{10})^{22}\times7^2\equiv7^2\equiv5\pmod{11}.
Démontrer une divisibilité : reconnaître la forme a^p-a et appliquer la forme 2. Exemple : 5\mid(a^5-a) pour tout entier a.
Calculer un inverse modulaire : utiliser a^{-1}\equiv a^{p-2}\pmod p, conséquence directe de a\times a^{p-2}\equiv a^{p-1}\equiv1.
Combiner avec un cycle plus court : parfois l'ordre de a modulo p (le plus petit exposant tel que a^e\equiv1) divise p-1 et accélère encore le calcul ; on le détecte en cherchant le premier retour à 1 dans les puissances successives.
Pièges
Oublier que p doit être premier : le théorème ne s'applique pas si p est composé.
Pour la forme 1, oublier la condition p\nmid a. Si p\mid a, on a a^{p-1}\equiv0, pas 1.
Se tromper d'exposant réduit : c'est k\bmod(p-1) qui compte pour la forme 1.
Confondre a^{p-1}\equiv1 (forme 1, condition sur a) et a^p\equiv a (forme 2, sans condition).
Réduire l'exposant modulo p au lieu de p-1 : c'est bien p-1 qui apparaît dans la forme 1.
Exemple détaillé
Reste de 7^{222} modulo 11 : comme 11 est premier et \mathrm{PGCD}(7,11)=1, le petit théorème de Fermat donne 7^{10}\equiv1\pmod{11}. On écrit 222=10\times22+2, donc 7^{222}=(7^{10})^{22}\times7^2\equiv1^{22}\times49\pmod{11}. Or 49=44+5\equiv5\pmod{11}, donc le reste de 7^{222} modulo 11 est 5.
Pour l'épreuve
Le petit théorème de Fermat est l'outil décisif pour calculer le reste d'une très grande puissance modulo un nombre premier, et pour démontrer des divisibilités du type p\mid(a^p-a). Il fonde aussi le calcul d'inverses modulaires utilisé en cryptographie (RSA), via la formule a^{-1}\equiv a^{p-2}\pmod p. Vérifie toujours les deux hypothèses (p premier, et p\nmid a pour la forme 1) et cite explicitement le théorème dans ta rédaction. La technique « écrire k=(p-1)q+s pour réduire l'exposant » doit devenir un réflexe automatique.