Le théorème de Gauss

Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Théorème de Gauss. Soient a, b, c trois entiers relatifs. Si a divise le produit bc et si a est premier avec b (c'est-à-dire \mathrm{PGCD}(a,b)=1), alors a divise c. \big(a\mid bc \ \text{ et }\ \mathrm{PGCD}(a,b)=1\big)\implies a\mid c.

Démonstration. D'après le théorème de Bézout, il existe u,v\in\mathbb{Z} tels que au+bv=1. En multipliant par c : acu+bcv=c. Or a\mid acu et, comme a\mid bc, a\mid bcv. Donc a divise la somme acu+bcv=c.

Corollaire. Si b\mid n, c\mid n et \mathrm{PGCD}(b,c)=1, alors bc\mid n.

Formules

  • Gauss : a\mid bc et a\wedge b=1 \implies a\mid c.
  • Inverse modulaire : a\wedge n=1 \implies \exists\,a',\ aa'\equiv1\pmod n.
  • Résolution : ax\equiv b\pmod n avec a\wedge n=1 \implies x\equiv a'b\pmod n.

Méthodes type bac

  • Appliquer Gauss : repérer une divisibilité d'un produit et une condition de primauté ; en déduire une divisibilité plus fine.
  • Résoudre une congruence ax\equiv b\pmod n : vérifier \mathrm{PGCD}(a,n)=1, calculer l'inverse a' de a modulo n (par Bézout ou par essai), multiplier.
  • Système de congruences (type théorème chinois) : exprimer n à partir de la première congruence, reporter dans la seconde, résoudre la congruence en k, recombiner.

Pièges

  • Oublier l'hypothèse de primauté : sans \mathrm{PGCD}(a,b)=1, Gauss est faux. Contre-exemple : 6\mid 4\times3 mais 6\nmid4 et 6\nmid3.
  • Confondre Gauss avec sa réciproque (qui n'existe pas sous cette forme).
  • Pour le corollaire bc\mid n, ne pas oublier \mathrm{PGCD}(b,c)=1 (sinon 2\mid n et 4\mid n n'impliquent pas 8\mid n).
  • Croire que l'inverse modulaire existe toujours : il faut \mathrm{PGCD}(a,n)=1.

Exemple détaillé

Résolution de 3x\equiv2\pmod 5. Comme \mathrm{PGCD}(3,5)=1, 3 admet un inverse modulo 5 : on cherche a' tel que 3a'\equiv1\pmod 5. Or 3\times2=6\equiv1\pmod 5, donc 3^{-1}\equiv2\pmod 5. En multipliant la congruence par 2 : x\equiv2\times2\equiv4\pmod 5. Vérification : 3\times4=12\equiv2\pmod 5.

Pour l'épreuve

Le théorème de Gauss est l'outil pour « affiner » une divisibilité et pour résoudre les congruences linéaires ax\equiv b\pmod n. Il justifie la simplification d'une congruence par un facteur premier avec le module, et la description des solutions d'une équation diophantienne. Cite toujours l'hypothèse \mathrm{PGCD}(a,b)=1 : c'est elle que le correcteur vérifie en priorité. Sa démonstration à partir du théorème de Bézout est un grand classique exigible : multiplier l'identité au+bv=1 par c et exploiter les divisibilités. Les systèmes de congruences se résolvent par substitution, en remplaçant une congruence par son expression n=\alpha k+\beta.