Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes (LaTeX)
Tout complexe non nul s'écrit sous forme trigonométrique z=r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta), avec r=|z| et \theta=\arg(z). Les complexes relient algèbre et trigonométrie par deux outils majeurs.
La formule de Moivre : pour tout entier n,
(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta).
Les formules d'Euler : \cos\theta=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2} et \sin\theta=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}}.
Moivre sert à exprimer \cos(n\theta) et \sin(n\theta) en fonction de \cos\theta et \sin\theta (développement) ; Euler sert à linéariser (transformer une puissance en combinaison de cosinus/sinus d'angles multiples). Ces deux outils se complètent : Moivre repose sur la propriété \arg(z^n)=n\arg(z) appliquée à un complexe de module 1, tandis qu'Euler exprime cosinus et sinus comme demi-sommes ou demi-différences d'exponentielles conjuguées. La linéarisation est particulièrement utile en intégration, car une puissance comme \cos^2\theta ne se primitive pas directement, alors que \dfrac{1+\cos(2\theta)}{2} se primitive immédiatement.
Les formules de duplication, conséquence directe de Moivre pour n=2, sont à connaître par cœur : \cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta et \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.
Linéariser \cos^n\theta : écrire avec Euler, développer au binôme, regrouper les termes conjugués en cosinus d'angles multiples. Par exemple \cos^2\theta=\left(\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2}\right)^2=\dfrac{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}+2+\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\theta}}{4}=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Développer \cos(n\theta) : appliquer Moivre, développer (\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^n au binôme, identifier la partie réelle. Pour n=2, on retrouve \cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta.
Vérifier une formule en testant une valeur particulière (\theta=0 ou \theta=\dfrac{\pi}{2}).
Passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique : remplacer \cos\theta et \sin\theta par leurs valeurs remarquables, comme dans 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{3}\right)=1+\mathrm{i}\sqrt3.
Pièges
Dans Euler pour le sinus, le dénominateur est 2\mathrm{i} ; (2\mathrm{i})^2=-4, attention au signe lors de l'élévation au carré.
Moivre s'applique à un complexe de module 1 ; si |z|=r\ne 1, sortir r^n devant.
Linéarisation et développement sont des opérations inverses : bien identifier ce qui est demandé.
Lors de la linéarisation, regrouper \mathrm{e}^{\mathrm{i}k\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k\theta}=2\cos(k\theta) et \mathrm{e}^{\mathrm{i}k\theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k\theta}=2\mathrm{i}\sin(k\theta) : ne pas se tromper de regroupement.
Ne pas oublier le terme central du binôme (le coefficient \binom{n}{n/2}) lorsqu'il existe, c'est-à-dire pour n pair.
Pour l'épreuve
Moivre et Euler sont les deux faces du lien complexes-trigonométrie. La linéarisation de \cos^2\theta et \sin^2\theta sert directement en intégration : \cos^2\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2} s'intègre immédiatement, contrairement à \cos^2\theta tel quel. Maîtrise le passage forme trigonométrique vers forme algébrique avec les valeurs remarquables. Vérifie toujours une formule trigonométrique obtenue en testant un angle simple. Garde en tête que ces techniques s'appuient sur le binôme de Newton et sur la forme exponentielle : c'est l'aboutissement de tout ce qui précède dans le chapitre des complexes.