Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
Une matrice de format n\times p est un tableau de réels rangés en n lignes et p colonnes. On note A=(a_{i,j}) où a_{i,j} est le coefficient situé à la ligne i et à la colonne j :
A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,p} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,p} \end{pmatrix}
Cas particuliers à connaître :
Matrice ligne : un seul ligne (1\times p). Matrice colonne : une seule colonne (n\times 1).
Matrice carrée d'ordre n : n=p. Sa diagonale principale est formée des a_{i,i}.
Matrice identité I_n : matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.
Matrice diagonale : matrice carrée dont tous les coefficients hors diagonale sont nuls.
Matrice nulle : tous les coefficients valent 0.
Deux matrices sont égales si elles ont le même format et les mêmes coefficients un à un.
Formules
Somme : (A+B)_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j} (même format obligatoire).
Produit par un réel : (\lambda A)_{i,j}=\lambda\, a_{i,j}.
Combinaison linéaire : \alpha A+\beta B se calcule coefficient par coefficient.
Transposée : (A^{\mathrm{T}})_{i,j}=a_{j,i}, et (A^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}=A, (A+B)^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}}.
Puissance d'une diagonale : si D=\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_n) alors D^k=\mathrm{diag}(d_1^{\,k},\dots,d_n^{\,k}).
Méthodes type bac
Résoudre une équation matricielle linéaire (du type 2X+B=C) : on isole X exactement comme une équation numérique, X=\dfrac{1}{2}(C-B), puis on calcule coefficient par coefficient. On veille à manipuler des matrices de même format à chaque étape.
Reconnaître une matrice symétrique : vérifier que a_{i,j}=a_{j,i}, c'est-à-dire A^{\mathrm{T}}=A. On compare les coefficients situés symétriquement par rapport à la diagonale principale.
Calculer une puissance : si la matrice est diagonale, on élève chaque terme diagonal à la puissance. Sinon il faudra le produit matriciel (chapitre suivant) ou une diagonalisation indirecte.
Calculer une combinaison linéaire : pour une expression comme \alpha A+\beta B, on commence par former chaque multiple, puis on additionne case par case. C'est la base de toutes les manipulations algébriques sur les matrices.
Pièges
On n'additionne pas deux matrices de formats différents.
La multiplication par un réel touche tous les coefficients, pas seulement la diagonale.
Pour une matrice diagonale D=\mathrm{diag}(2,-1,3), D^2 vaut \mathrm{diag}(4,1,9) : attention au carré de -1 qui donne +1, et ne pas écrire D^2=2D.
La transposée d'une matrice 2\times 3 est de format 3\times 2 : le format change.
Pour l'épreuve
La calculatrice est autorisée : sache saisir une matrice, calculer somme, différence, multiple, transposée et puissance. Mais la rédaction d'une équation matricielle (isolation de X) et l'identification coefficient par coefficient doivent apparaître à l'écrit. Vérifie toujours le format avant toute opération : c'est la première source d'erreur. Garde aussi en tête que ce chapitre est la fondation de tout le reste du thème : le produit de matrices, l'inversion, les suites de matrices colonnes et les graphes reposent tous sur cette algèbre élémentaire, qu'il faut donc savoir mener sans hésitation et présenter proprement avec l'environnement de matrices entre parenthèses.