Les nombres premiers

Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Un entier naturel p est premier s'il est supérieur ou égal à 2 et si ses seuls diviseurs positifs sont 1 et p. Le nombre 1 n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur). Le seul nombre premier pair est 2.

Propriété. Tout entier n\ge2 admet au moins un diviseur premier (son plus petit diviseur supérieur ou égal à 2 est premier).

Théorème fondamental de l'arithmétique. Tout entier n\ge2 se décompose de manière unique, à l'ordre des facteurs près, en produit de nombres premiers : n=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times\cdots\times p_k^{\alpha_k}.

Théorème (Euclide). Il existe une infinité de nombres premiers.

Formules

  • Test : n est premier \iff aucun premier p\le\sqrt{n} ne divise n.
  • Nombre de diviseurs de n=\prod p_i^{\alpha_i} : \displaystyle\prod_i(\alpha_i+1).
  • Exemple : 720=2^4\times3^2\times5 a (4+1)(2+1)(1+1)=30 diviseurs.

Méthodes type bac

  • Décomposer en facteurs premiers : diviser successivement par 2, puis 3, 5, 7... jusqu'à obtenir 1.
  • Tester la primalité : essayer les diviseurs premiers jusqu'à \sqrt{n}. Inutile d'aller au-delà : si n=ab avec a\le b, alors a\le\sqrt{n}.
  • Compter les diviseurs : appliquer la formule du produit des (\alpha_i+1).
  • Démonstration d'Euclide (infinité des premiers) : raisonnement par l'absurde avec N=p_1\cdots p_k+1.

Pièges

  • Croire que 1 est premier : c'est faux, 1 n'a qu'un seul diviseur.
  • Oublier de s'arrêter à \sqrt{n} dans le test (ou pire, tester tous les entiers jusqu'à n).
  • Confondre « facteur premier » et « diviseur » : 4 divise 720 mais n'est pas un facteur premier.
  • Dans la formule du nombre de diviseurs, oublier le +1 (qui compte l'exposant 0).
  • Tester uniquement les diviseurs impairs en oubliant 2, ou des diviseurs non premiers (inutile).

Exemple détaillé

Le nombre 221 est-il premier ? On a \sqrt{221}\approx14,9, donc on teste les premiers 2,3,5,7,11,13. Aucun ne divise 221 sauf 13 : en effet 221=13\times17. Donc 221 n'est pas premier. Pour compter les diviseurs de 720=2^4\times3^2\times5, on applique la formule : (4+1)(2+1)(1+1)=5\times3\times2=30 diviseurs.

Pour l'épreuve

Les nombres premiers structurent toute l'arithmétique via la décomposition unique (théorème fondamental). Sache décomposer rapidement un entier en facteurs premiers, tester une primalité avec le critère \sqrt{n}, et compter les diviseurs avec la formule du produit des (\alpha_i+1). La démonstration de l'infinité des nombres premiers par Euclide est un grand classique exigible : maîtrise le raisonnement par l'absurde et l'astuce du nombre N=p_1\cdots p_k+1. Rappelle-toi enfin que tout entier supérieur ou égal à 2 possède un diviseur premier, propriété utilisée dans de nombreuses preuves d'arithmétique.