Matrices et systèmes linéaires

Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Un système linéaire de n équations à n inconnues se met sous la forme matricielle : AX=B où A est la matrice carrée des coefficients (n\times n), X=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} la colonne des inconnues et B la colonne des seconds membres.

Théorème (résolution par l'inverse). Si A est inversible, le système AX=B admet une unique solution donnée par : X=A^{-1}B. On l'obtient en multipliant l'égalité AX=B à gauche par A^{-1} : A^{-1}(AX)=A^{-1}B, soit (A^{-1}A)X=I_nX=X=A^{-1}B.

Réciproquement, si \det(A)=0 (matrice non inversible), le système n'a pas une solution unique : il est soit incompatible (aucune solution), soit indéterminé (une infinité). Géométriquement, dans le cas de deux équations à deux inconnues, chaque équation représente une droite : une solution unique correspond à deux droites sécantes, aucune solution à deux droites strictement parallèles, et une infinité de solutions à deux droites confondues. Le déterminant nul traduit le parallélisme des droites.

Formules

  • \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc.
  • Système 2\times 2 inversible : X=A^{-1}B avec A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.

Méthodes type bac

  • Mise en forme matricielle : identifier A, X, B en respectant l'ordre des inconnues, une inconnue absente correspondant à un coefficient 0.
  • Résolution par A^{-1} : valable pour les petits systèmes (2\times 2 surtout), à la main ou via calculatrice pour 3\times 3.
  • Résolution par combinaisons (pivot) : pour un 3\times 3, éliminer une inconnue en combinant les lignes (L_2\leftarrow L_2-kL_1), descendre vers une inconnue isolée, puis remonter.

Pièges

  • Respecter l'ordre : X=A^{-1}B et non X=BA^{-1} (le produit n'est pas commutatif).
  • \det(A)=0 ne signifie pas « pas de solution » : cela signifie « pas de solution unique ». Il faut conclure entre zéro ou une infinité.
  • Ne pas oublier les coefficients nuls ou négatifs dans A lors de la mise en forme.

Pour l'épreuve

La calculatrice résout instantanément AX=B via A^{-1}B, mais l'écrit attend la mise en forme matricielle explicite et la justification de l'existence (et unicité) de la solution par l'inversibilité de A. Pour un système 3\times 3, la méthode par combinaisons reste exigible et permet de vérifier la machine. Pense à conclure clairement en revenant aux inconnues du problème : après avoir trouvé la colonne X, on identifie chaque composante à x, y, z et on interprète, surtout dans les exercices concrets (production, mélange, partage) où les nombres doivent avoir un sens physique.