Matrices et transformations géométriques du plan

Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Une transformation linéaire du plan (fixant l'origine O) associe au point M(x\,;y) le point M'(x'\,;y') tel que : \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. La matrice A est de format 2\times 2 ; ses colonnes sont les images des vecteurs de la base (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).

Transformations de référence (centre O) :

  • Rotation d'angle \theta : R_\theta=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}, \det(R_\theta)=1.
  • Homothétie de rapport k : kI_2=\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}.
  • Symétrie d'axe (Ox) : \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} ; d'axe (Oy) : \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • Symétrie centrale (centre O) : -I_2.

Formules

  • Composition : la composée f\circ g a pour matrice A_f\times A_g (appliquer g puis f).
  • R_\theta\times R_\varphi=R_{\theta+\varphi} (addition des angles).
  • R_\theta^{-1}=R_{-\theta}.
  • \det d'une rotation =1 ; d'une symétrie axiale =-1 ; d'une homothétie de rapport k =k^2.

Méthodes type bac

  • Image d'un point : effectuer le produit A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.
  • Identifier une transformation : reconnaître la forme de A (rotation, homothétie, symétrie) et lire ses paramètres (\theta, k).
  • Composer : multiplier les matrices dans le bon ordre, en se rappelant que le produit n'est pas commutatif.
  • Démontrer l'addition des angles : utiliser \cos(\theta+\varphi)=\cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi et \sin(\theta+\varphi)=\sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi, puis identifier le produit obtenu à la matrice R_{\theta+\varphi}.
  • Itérer une transformation : calculer A^n revient à appliquer n fois la transformation ; pour une rotation cela donne R_\theta^n=R_{n\theta}, ce qui se vérifie grâce à l'addition des angles.

Pièges

  • L'ordre de composition compte : A\times B applique d'abord la transformation de matrice B.
  • Une rotation a pour déterminant 1, une symétrie axiale -1 : un signe distingue rotation et symétrie.
  • R_\theta^{-1} est R_{-\theta} et non l'opposée -R_\theta.

Pour l'épreuve

On attend une lecture sûre des matrices de référence et la maîtrise de la composition (produit). Une question classique demande de prouver R_\theta R_\varphi=R_{\theta+\varphi} à l'aide des formules d'addition : c'est un calcul exigible. La calculatrice exécute les produits, mais l'interprétation géométrique (angle, rapport, axe) est attendue. Sache aussi relier le déterminant à la nature de la transformation : un déterminant de 1 conserve les aires et l'orientation (rotation), un déterminant de -1 conserve les aires mais inverse l'orientation (symétrie axiale), et un déterminant k^2 multiplie les aires par k^2 (homothétie de rapport k). Cette lecture du déterminant est un repère sûr pour identifier rapidement une transformation donnée par sa matrice.