Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
Deux entiers a et b sont dits premiers entre eux lorsque \mathrm{PGCD}(a,b)=1, c'est-à-dire que leur seul diviseur commun positif est 1.
Théorème de Bézout. Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers relatifs u et v tels que
au+bv=1.
Identité de Bézout (cas général). Si d=\mathrm{PGCD}(a,b), alors il existe u,v\in\mathbb{Z} tels que au+bv=d. Attention : la réciproque est fausse, une égalité au+bv=d ne prouve d=\mathrm{PGCD} que si d=1.
Équation diophantienne ax+by=c : solutions \iff \mathrm{PGCD}(a,b)\mid c.
Si a\wedge b=1 et (x_0,y_0) solution de ax+by=c, alors x=x_0+bk, y=y_0-ak, k\in\mathbb{Z}.
Méthodes type bac
Trouver les coefficients de Bézout : dérouler l'algorithme d'Euclide, puis remonter les égalités pour exprimer 1 (ou le PGCD) en fonction de a et b. Exemple : 17=5\times3+2, 5=2\times2+1, d'où 1=5-2\times2=5\times7-17\times2.
Résoudre ax+by=c : vérifier \mathrm{PGCD}(a,b)\mid c, trouver une solution particulière, puis soustraire les deux équations et appliquer le théorème de Gauss pour décrire toutes les solutions sous la forme x=x_0+\frac{b}{d}k, y=y_0-\frac{a}{d}k.
Montrer que deux entiers sont premiers entre eux : exhiber une combinaison au+bv=1 suffit, grâce à l'équivalence du théorème de Bézout, sans même calculer le PGCD.
Calculer un inverse modulaire : pour inverser a modulo n avec a\wedge n=1, écrire au+nv=1, ce qui donne au\equiv1\pmod n, donc a^{-1}\equiv u\pmod n.
Pièges
Confondre théorème de Bézout (combinaison =1, équivalence) et identité de Bézout (combinaison =d, simple existence).
Croire qu'une combinaison au+bv=d prouve \mathrm{PGCD}(a,b)=d : c'est faux en général.
Oublier de vérifier \mathrm{PGCD}(a,b)\mid c avant de résoudre une équation diophantienne.
Se tromper de signe dans la solution générale : x=x_0+bk, y=y_0-ak.
Oublier que les coefficients de Bézout ne sont pas uniques : il en existe une infinité.
Exemple détaillé
Résolution de 5x+3y=1. Une solution particulière est (x_0,y_0)=(-1,2) car 5\times(-1)+3\times2=1. En soustrayant, 5(x+1)+3(y-2)=0, soit 5(x+1)=-3(y-2). Comme \mathrm{PGCD}(5,3)=1, le théorème de Gauss donne 3\mid(x+1), donc x+1=3k. On obtient x=-1+3k et y=2-5k pour k\in\mathbb{Z}.
Pour l'épreuve
Le théorème de Bézout est central : il sert à résoudre les équations diophantiennes, à démontrer le théorème de Gauss, et intervient en cryptographie (inverse modulaire dans RSA). Sache calculer un couple de Bézout par l'algorithme d'Euclide remonté, et rédiger proprement l'ensemble des solutions d'une équation ax+by=c à partir d'une solution particulière. Distingue bien l'équivalence de Bézout (au+bv=1) de la simple existence de l'identité générale (au+bv=d) : la confusion entre les deux est très pénalisée par les correcteurs.