Produit de matrices, matrice inversible

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Définitions et théorèmes

Le produit A\times B de deux matrices n'existe que si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B. Si A est de format n\times p et B de format p\times q, alors AB est de format n\times q.

Le coefficient ligne i, colonne j du produit est obtenu par la règle ligne par colonne : (AB)_{i,j}=\sum_{k=1}^{p} a_{i,k}\,b_{k,j}.

Concrètement, pour calculer le produit, on parcourt chaque ligne de A et chaque colonne de B : le terme situé à la ligne i et colonne j du résultat est la somme des produits des termes correspondants. C'est pourquoi le nombre de colonnes de A doit égaler le nombre de lignes de B.

Une matrice carrée A d'ordre n est inversible s'il existe une matrice A^{-1} (l'inverse) telle que A A^{-1}=A^{-1}A=I_n. L'inverse, lorsqu'il existe, est unique. Une matrice carrée qui n'est pas inversible est dite singulière ; c'est le cas exactement lorsque son déterminant est nul.

Pour une matrice 2\times 2, A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} est inversible si et seulement si son déterminant \det(A)=ad-bc est non nul, et alors : A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.

Formules

  • A I_n=I_n A=A (élément neutre).
  • (AB)C=A(BC) : le produit est associatif.
  • A(B+C)=AB+AC : distributivité.
  • (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (l'ordre s'inverse).
  • (A^{-1})^{-1}=A.

Méthodes type bac

  • Calculer un produit : repérer les formats, vérifier la compatibilité, puis appliquer la règle ligne par colonne sans se tromper d'indice.
  • Montrer qu'une matrice est inversible : calculer \det(A) (cas 2\times 2) ou exhiber une relation polynomiale du type A^2=\alpha A+\beta I avec \beta\neq 0, qui donne directement A^{-1}.
  • Trouver A^{-1} par une relation : d'une égalité A^2-\alpha A=\beta I_n on factorise A(A-\alpha I_n)=\beta I_n, donc A^{-1}=\dfrac{1}{\beta}(A-\alpha I_n) si \beta\neq 0.

Pièges

  • AB\neq BA en général : ne jamais intervertir l'ordre dans un produit.
  • (A+B)^2\neq A^2+2AB+B^2 sauf si AB=BA.
  • Si \det(A)=0, la matrice n'est pas inversible : on ne peut pas écrire A^{-1}.
  • AB=0 n'implique pas A=0 ou B=0 : il existe des « diviseurs de zéro » matriciels.

Pour l'épreuve

La calculatrice donne le produit et l'inverse, mais le sujet attend souvent la vérification A A^{-1}=I_n ou l'établissement d'une relation de récurrence entre puissances. Sache rédiger la factorisation qui donne l'inverse, car c'est elle qui est notée et non le résultat brut de la machine. Un exercice fréquent consiste à donner une relation polynomiale satisfaite par A, par exemple A^2=3A-2I_n, puis à en déduire A^{-1} par factorisation : c'est une démarche entièrement à la main, indépendante de la calculatrice, et c'est exactement ce que le correcteur cherche dans la copie.