Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes (LaTeX)
Les arguments se comportent vis-à-vis de la multiplication comme des angles qui s'additionnent. Pour tous complexes non nuls z et z', et tout entier n :
\arg(z z')=\arg(z)+\arg(z'),\quad \arg\!\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z'),\quad \arg(z^n)=n\,\arg(z),
toutes ces égalités étant entendues modulo 2\pi. En parallèle, les modules se multiplient : |zz'|=|z|\,|z'|, etc.
Ces règles transforment la multiplication des complexes en addition d'angles, ce qui en fait l'outil idéal pour les puissances (formule de Moivre) et pour obtenir des valeurs trigonométriques exactes. On dispose en outre de \arg(\overline z)=-\arg(z) et de \arg\!\left(\dfrac1z\right)=-\arg(z), qui découlent des deux précédentes. En revanche, il n'existe aucune formule donnant \arg(z+z') en fonction de \arg(z) et \arg(z') : seules les opérations multiplicatives respectent l'additivité des arguments.
Pour k>0 : \arg(kz)=\arg(z) ; pour k<0 : \arg(kz)=\arg(z)+\pi.
Méthodes type bac
Module et argument d'un produit/quotient : déterminer ceux de chaque facteur, puis additionner ou soustraire les arguments et multiplier ou diviser les modules. Pour z_1 z_2 avec z_1=1+\mathrm{i} et z_2=\sqrt3+\mathrm{i}, le module est 2\sqrt2 et l'argument \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{12}.
Puissance d'un complexe : passer par module et argument, \arg(z^n)=n\arg(z), bien plus rapide que le binôme. Ainsi (1+\mathrm{i})^4 a pour argument 4\times\dfrac{\pi}{4}=\pi et pour module 4, donc vaut -4.
Obtenir une valeur trigonométrique exacte : écrire un même complexe sous forme algébrique et sous forme trigonométrique, puis identifier \cos\theta et \sin\theta.
Étudier quand z^n est réel ou imaginaire pur : traduire la condition sur l'argument n\arg(z) modulo \pi ou modulo 2\pi.
Pièges
Toutes les égalités d'arguments sont modulo 2\pi : un résultat peut devoir être ramené dans ]-\pi;\pi].
\arg(kz)=\arg(z) seulement si k>0 ; pour k<0 il faut ajouter \pi.
\arg(z+z') n'a aucune formule simple : les arguments ne s'additionnent que pour les produits, pas pour les sommes.
\arg(z^n)=n\arg(z) s'applique aussi à n négatif : \arg\!\left(\dfrac1z\right)=-\arg(z).
Lors d'une identification entre formes algébrique et trigonométrique, le module doit être positif ; sinon, on a oublié un facteur -1 qui décale l'argument de \pi.
Pour l'épreuve
Ces propriétés sont le cœur calculatoire des complexes : multiplier additionne les arguments, élever à la puissance multiplie l'argument. Elles préparent directement la forme exponentielle. L'exercice classique consiste à écrire un quotient comme \dfrac{1+\mathrm{i}}{\sqrt3+\mathrm{i}} de deux façons pour en déduire \cos\dfrac{\pi}{12} et \sin\dfrac{\pi}{12}. Combine systématiquement la règle sur les modules (|zz'|=|z|\,|z'|) et celle sur les arguments : ensemble, elles donnent immédiatement la forme polaire d'un produit ou d'un quotient, sans jamais passer par la forme algébrique.