Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes (LaTeX)
Les racines n-ièmes de l'unité sont les solutions de l'équation z^n=1 dans \mathbb{C}. Il y en a exactement n, données par
z_k=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi}{n}},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Elles ont toutes pour module 1 et leurs arguments sont régulièrement espacés de \dfrac{2\pi}{n}. Géométriquement, elles sont les sommets d'un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle trigonométrique, dont l'un des sommets est le point d'affixe 1.
Plus généralement, les racines n-ièmes d'un complexe R\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} (avec R>0) sont R^{1/n}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\varphi+2k\pi}{n}} pour k=0,\dots,n-1.
Racines cubiques : 1,\ j,\ j^2 avec 1+j+j^2=0 et j^3=1.
Méthodes type bac
Résoudre z^n=A : écrire A sous forme exponentielle R\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}, prendre la racine n-ième du module (R^{1/n}) et diviser l'argument (augmenté de 2k\pi) par n. Pour z^3=8=8\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}0}, on obtient module 2 et arguments 0,\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}.
Énumérer les n solutions en faisant varier k de 0 à n-1 ; au-delà, on retrouve les mêmes.
Interpréter géométriquement : polygone régulier inscrit dans un cercle, ce qui aide à vérifier les solutions.
Contrôler par la somme : pour n\ge 2, la somme des n racines vaut 0 (sommet du polygone régulier centrés en O).
Pièges
Il y a exactement n racines n-ièmes : ne pas en oublier (en particulier pour n pair, penser aux racines opposées).
Réduire chaque argument modulo 2\pi pour reconnaître la valeur remarquable et la forme algébrique.
R^{1/n} est la racine n-ième réelle positive de R ; ne pas confondre avec les racines complexes de l'équation.
L'écart angulaire entre deux racines consécutives est toujours \dfrac{2\pi}{n} : c'est ce qui assure la régularité du polygone.
Pour les racines cubiques de l'unité, retenir j^2=\overline j et 1+j+j^2=0 ; ces relations servent dans de nombreuses simplifications.
Pour l'épreuve
Les racines n-ièmes de l'unité sont le couronnement du chapitre : elles combinent forme exponentielle, arguments et géométrie. Sache résoudre z^n=A en écrivant A en exponentielle, puis lister les n solutions. La somme nulle et la disposition en polygone régulier sont des résultats à connaître et permettent un contrôle rapide. Le résultat le plus utile en pratique est que toutes les racines n-ièmes d'un complexe se déduisent d'une racine particulière en la multipliant par les racines n-ièmes de l'unité : cela relie ce chapitre à tous les précédents. Trace toujours le cercle et les sommets pour visualiser et vérifier que rien n'a été oublié.