Représentation graphique d'un nombre complexe : l'affixe

Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes (LaTeX)

Le plan complexe est le plan muni d'un repère orthonormé direct (O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}). À tout point M de coordonnées (x;y) on associe son affixe z=x+\mathrm{i}y, et réciproquement. L'axe des abscisses est l'axe des réels, l'axe des ordonnées l'axe des imaginaires purs.

À tout vecteur \overrightarrow{w} de coordonnées (x;y) on associe son affixe z=x+\mathrm{i}y. En particulier, l'affixe de \overrightarrow{AB} est z_B-z_A. Cette correspondance entre points (et vecteurs) du plan et nombres complexes est une bijection : elle traduit toute configuration géométrique en calculs sur les complexes, et réciproquement. C'est pourquoi on parle du plan complexe comme d'un dictionnaire entre géométrie et algèbre, où somme de vecteurs, milieu, symétrie et translation se lisent directement sur les affixes.

Formules

  • Affixe de \overrightarrow{AB} : z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.
  • Milieu de [AB] : z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}.
  • Linéarité : z_{\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}}=z_{\overrightarrow{u}}+z_{\overrightarrow{v}} et z_{k\overrightarrow{u}}=k z_{\overrightarrow{u}} (k réel).
  • Symétrique de A par rapport à B : z_{A'}=2z_B-z_A.
  • Translation de vecteur d'affixe w : z'=z+w.

Méthodes type bac

  • Calculer une affixe de vecteur : faire la différence affixe d'arrivée moins affixe de départ, z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.
  • Reconnaître un parallélogramme : traduire \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} (ou \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} selon l'ordre des sommets) en égalité d'affixes, puis isoler l'affixe inconnue.
  • Trouver un quatrième sommet ou un symétrique : poser l'égalité vectorielle, isoler l'affixe inconnue. Le symétrique A' de A par rapport à B vérifie z_{A'}=2z_B-z_A.
  • Calculer le centre d'un parallélogramme : c'est le milieu commun des deux diagonales, donc \dfrac{z_A+z_D}{2}=\dfrac{z_B+z_C}{2}, ce qui sert aussi de vérification.

Pièges

  • L'affixe d'un point est x+\mathrm{i}y ; l'affixe d'un vecteur est une différence d'affixes de points.
  • Bien respecter l'ordre des sommets d'un parallélogramme : ABCD donne \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}, alors que ABDC donne \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.
  • La multiplication par un réel agit sur l'affixe d'un vecteur ; pour une homothétie de centre non nul, revenir aux vecteurs.
  • Une translation s'écrit z'=z+w ; ne pas confondre avec une multiplication, qui correspondrait à une rotation-homothétie.
  • Le repère doit être orthonormé direct pour que les notions d'argument et d'angle orienté, vues ensuite, soient cohérentes avec la figure.

Pour l'épreuve

L'affixe est le pont entre algèbre et géométrie. Maîtrise z_B-z_A pour les vecteurs et \dfrac{z_A+z_B}{2} pour les milieux ; ce sont les briques de toutes les configurations (parallélogramme, symétrique, translation). Une figure soignée dans le plan complexe sécurise souvent les réponses et permet de vérifier la cohérence d'un calcul d'affixe. Ce chapitre se prolonge naturellement par le module (qui donne les distances AB=|z_B-z_A|) et par l'argument (qui donne les angles) : c'est pourquoi il faut placer les points avec soin dès le début d'un problème de géométrie complexe.