Représentation graphique d'un nombre complexe : le module

Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes (LaTeX)

Le module d'un complexe z=a+\mathrm{i}b est le réel positif |z|=\sqrt{a^2+b^2}. Géométriquement, |z| est la distance OM entre l'origine O et le point M d'affixe z. On a |z|^2=z\,\overline{z}, ce qui relie le module au conjugué.

Plus généralement, la distance entre deux points A et B d'affixes z_A et z_B est AB=|z_B-z_A|. Cette traduction transforme des conditions géométriques (cercle, médiatrice) en équations sur les modules. Le module est multiplicatif : |zz'|=|z|\,|z'|, ce qui en fait un outil bien plus rapide que la forme algébrique pour les produits, les quotients et les puissances. Comme |z|^2=z\,\overline z, le module est intimement lié au conjugué, et tous deux sont invariants par symétrie par rapport à l'axe des réels. Le module est aussi la première coordonnée polaire d'un complexe non nul, l'argument étant la seconde.

Formules

  • |z|=\sqrt{a^2+b^2} et |z|^2=z\,\overline{z}.
  • |z z'|=|z|\,|z'| ; \left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|} ; |z^n|=|z|^n.
  • |\overline{z}|=|z| et |-z|=|z|.
  • AB=|z_B-z_A|.
  • Inégalité triangulaire : |z+z'|\le|z|+|z'|.

Méthodes type bac

  • Calculer un module : appliquer \sqrt{a^2+b^2}, ou pour un produit/quotient utiliser la multiplicativité (plus rapide que la forme algébrique). Par exemple \left|\dfrac{1+\mathrm{i}}{\sqrt3-\mathrm{i}}\right|=\dfrac{\sqrt2}{2} sans aucun développement.
  • Reconnaître un cercle : une condition |z-\omega|=r décrit le cercle de centre \Omega(\omega) et de rayon r.
  • Reconnaître une médiatrice : une condition |z-z_A|=|z-z_B| décrit la médiatrice de [AB], ensemble des points équidistants de A et B.
  • Tester l'appartenance d'un point à un lieu : calculer les distances en jeu et comparer, comme pour vérifier qu'un point appartient ou non à une médiatrice.

Pièges

  • Le module est toujours positif ; ne pas oublier la racine carrée.
  • Pour un quotient, \left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|} évite de mettre le quotient sous forme algébrique.
  • Une condition |z-\omega|=r donne un cercle, mais |z-\omega|\le r donne un disque (région), à ne pas confondre.
  • |z|^2=z\,\overline z est un réel : c'est faux d'écrire |z|^2=z^2 (qui est en général complexe).
  • L'inégalité triangulaire |z+z'|\le|z|+|z'| n'est une égalité que si les deux complexes ont le même argument.

Pour l'épreuve

Le module sert à mesurer des distances et à décrire des lieux géométriques. La multiplicativité |zz'|=|z|\,|z'| et |z^n|=|z|^n fait gagner beaucoup de temps. Les ensembles de points classiques (cercle via |z-\omega|=r, médiatrice via |z-z_A|=|z-z_B|) tombent régulièrement : sache les reconnaître instantanément et nommer leur nature. Le module est aussi la première coordonnée de la forme exponentielle z=r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} : un module bien calculé prépare le passage aux formes trigonométrique et exponentielle. Pense toujours à faire une figure pour contrôler la nature du lieu obtenu.