Suite de matrices colonnes

Mathématiques Expertes · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Une suite de matrices colonnes (U_n) est une suite dont chaque terme U_n est une matrice colonne. Elle est généralement définie par un premier terme U_0 et une relation de récurrence linéaire : U_{n+1}=AU_n \quad\text{ou bien}\quad U_{n+1}=AU_n+B, où A est une matrice carrée constante et B une matrice colonne constante.

Théorème (forme explicite). Si U_{n+1}=AU_n pour tout n, alors : U_n=A^n\,U_0. Démonstration par récurrence : au rang 0, A^0U_0=I U_0=U_0 ; si U_n=A^nU_0, alors U_{n+1}=AU_n=A(A^nU_0)=A^{n+1}U_0.

Pour une récurrence affine U_{n+1}=AU_n+B, on cherche l'état stable (point fixe) U vérifiant U=AU+B, donc (I-A)U=B ; si I-A est inversible, U=(I-A)^{-1}B. La suite V_n=U_n-U vérifie alors V_{n+1}=AV_n, donc V_n=A^nV_0. C'est la transposition matricielle de la méthode vue pour les suites arithmético-géométriques réelles : on translate la suite pour se ramener au cas homogène, plus simple à itérer.

Ces suites modélisent l'évolution d'un système décrit par plusieurs grandeurs couplées (par exemple deux populations qui échangent des effectifs, ou les parts de marché de plusieurs produits). À chaque étape, la matrice A encode comment les grandeurs se transforment et s'influencent mutuellement.

Formules

  • U_n=A^nU_0 (cas linéaire homogène).
  • État stable : (I-A)U=B, soit U=(I-A)^{-1}B si I-A inversible.
  • U_n=A^n(U_0-U)+U (cas affine).
  • Si A=\mathrm{diag}(\lambda,\mu) : A^n=\mathrm{diag}(\lambda^n,\mu^n).

Méthodes type bac

  • Calcul des premiers termes : appliquer la règle ligne par colonne pour U_1, U_2, etc.
  • Forme explicite : prouver U_n=A^nU_0 par récurrence, puis calculer A^n (souvent A est diagonale ou ramenée à une forme diagonale).
  • État stable : résoudre (I-A)U=B pour la limite d'un processus (répartition de populations, chaîne).
  • Limite : à partir des expressions explicites de x_n,y_n, utiliser \lim q^n=0 pour -1<q<1.

Pièges

  • Ne pas oublier A^0=I dans l'initialisation de la récurrence.
  • Dans le cas affine, l'état stable n'existe (par cette méthode) que si I-A est inversible.
  • \lim q^n=0 uniquement si -1<q<1 ; si q>1, la limite est +\infty.
  • Respecter l'ordre des produits : U_{n+1}=AU_n, pas U_nA.

Pour l'épreuve

Les suites de matrices modélisent l'évolution d'un système à plusieurs grandeurs (populations, parts de marché). On attend la récurrence U_n=A^nU_0, le calcul de A^n, et l'étude de la limite ou de l'état stable. La calculatrice donne A^n et les termes ; l'écrit valorise la démonstration et l'interprétation. Une rédaction soignée de la récurrence comporte toujours une initialisation (souvent au rang 0 avec A^0=I) et une hérédité fondée sur U_{n+1}=AU_n. Pour la limite, on isole les expressions des composantes et on raisonne avec les croissances comparées des puissances \lambda^n, en se souvenant que seul un facteur q vérifiant -1<q<1 donne une limite nulle.