Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Lorsque le nuage de points d'une série double est sensiblement aligné, on l'approche par une droite : c'est l'ajustement affine. La meilleure droite, au sens des moindres carrés, est celle qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite.
Théorème (droite de régression de y en x). Cette droite a pour équation y=ax+b avec : a=\dfrac{\mathrm{Cov}(x,y)}{V(x)},\qquad b=\overline{y}-a\,\overline{x}. Elle passe toujours par le point moyen G(\overline{x}\,;\overline{y}).
Coefficient de corrélation linéaire. r=\dfrac{\mathrm{Cov}(x,y)}{\sigma_x\,\sigma_y},\qquad r\in[-1\,;1]. Il mesure la qualité de l'alignement : plus |r| est proche de 1, plus l'ajustement affine est pertinent.
Déterminer l'équation : calculer (ou lire à la calculatrice) \mathrm{Cov}(x,y), V(x), \overline x, \overline y ; puis a=\dfrac{\mathrm{Cov}}{V(x)} et b=\overline y-a\overline x.
À la calculatrice : entrer les deux listes, lancer la régression linéaire (LinReg) qui affiche a, b et r. C'est la méthode privilégiée en maths complémentaires.
Estimer : pour y connaissant x, substituer dans y=ax+b ; pour x connaissant y, résoudre l'équation.
Justifier la qualité : commenter |r| (proche de 1 = bon ajustement).
L'ajustement affine est l'un des outils les plus opérationnels du programme de maths complémentaires : il modélise une relation linéaire entre deux grandeurs et permet d'estimer ou de prévoir. La calculatrice étant autorisée, on attend une utilisation efficace de la régression linéaire (menu statistique, fonction LinReg), mais il faut connaître les formules a=\dfrac{\mathrm{Cov}(x,y)}{V(x)} et b=\overline y-a\overline x pour les justifier et les utiliser à la main si besoin. Le passage par le point moyen G sert de garde-fou : si vous obtenez une droite qui ne passe pas par G, c'est qu'il y a une erreur. Le commentaire du coefficient de corrélation est systématiquement demandé : un ajustement affine ne se justifie que si |r| est proche de 1, sinon le modèle linéaire est inadapté et l'on peut envisager un ajustement exponentiel. Attention à ne jamais confondre corrélation et causalité : deux variables fortement corrélées ne sont pas nécessairement liées par un rapport de cause à effet, une troisième variable peut être à l'origine de la liaison. Ce point de vigilance, ainsi que la distinction entre la droite de régression de y en x et celle de x en y (qui diffèrent dès que |r|<1), sont régulièrement valorisés par les correcteurs. Enfin, pensez à toujours conclure par une phrase d'interprétation concrète : que représente le coefficient directeur a dans le contexte de l'énoncé (un taux d'évolution, une vitesse, un coût marginal) ?