Ajustement exponentiel

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes (LaTeX)

Quand un nuage de points (x_i\,;y_i) présente une forme exponentielle (croissance ou décroissance qui s'accélère), un ajustement affine direct est inadapté. On procède alors par un changement de variable qui « redresse » le nuage.

Principe. On pose z=\ln(y). Si la relation est de la forme y=k\,\mathrm{e}^{ax} (avec k>0), alors : \ln(y)=\ln\!\big(k\,\mathrm{e}^{ax}\big)=\ln(k)+ax,\qquad\text{c'est-à-dire}\qquad z=ax+b\;\text{ avec }b=\ln(k). La relation entre x et z est affine : on peut faire un ajustement affine de z en x, puis revenir à y.

Retour à la variable initiale. De z=ax+b on tire : y=\mathrm{e}^{z}=\mathrm{e}^{ax+b}=\mathrm{e}^{b}\,\mathrm{e}^{ax}=k\,\mathrm{e}^{ax}.

Formules

  • Changement de variable : z=\ln(y).
  • Modèle linéarisé : z=ax+b.
  • Modèle exponentiel : y=k\,\mathrm{e}^{ax} avec k=\mathrm{e}^{b}.
  • Coefficients de l'ajustement affine : a=\dfrac{\mathrm{Cov}(x,z)}{V(x)}, b=\overline{z}-a\,\overline{x}.

Méthodes type bac

Linéariser : calculer les z_i=\ln(y_i), tracer le nuage (x\,;z) et vérifier l'alignement. Un critère simple : si les x_i sont régulièrement espacés, les écarts successifs z_{i+1}-z_i doivent être (presque) constants.

Ajuster : déterminer la droite z=ax+b (à la main par les formules a=\dfrac{\mathrm{Cov}(x,z)}{V(x)} et b=\overline z-a\overline x, ou par régression linéaire à la calculatrice après avoir entré la liste des z_i).

Revenir à y : composer par l'exponentielle, y=\mathrm{e}^{ax+b}=\mathrm{e}^{b}\mathrm{e}^{ax}. Donner la forme y=k\,\mathrm{e}^{ax} avec k=\mathrm{e}^{b}.

Estimer : pour une valeur x_0, calculer z=ax_0+b puis y=\mathrm{e}^{z} (ou directement y=k\,\mathrm{e}^{ax_0}).

Interpréter le sens de variation : le signe de a donne la nature du phénomène (a>0 croissance, a<0 décroissance), et k=\mathrm{e}^{b} correspond à la valeur du modèle en x=0.

Pièges

  • Oublier de repasser à l'exponentielle : la réponse finale doit être en y, pas en z.
  • Écrire \mathrm{e}^{ax+b}=\mathrm{e}^{ax}+\mathrm{e}^{b} : faux, c'est un produit \mathrm{e}^{ax}\times\mathrm{e}^{b}.
  • Poser z=\mathrm{e}^{y} au lieu de z=\ln(y) : c'est bien le logarithme qui linéarise.
  • Confondre k=\mathrm{e}^{b} avec b lui-même.
  • Calculer \ln(y) avec une valeur y\leq 0 : impossible, le logarithme n'est défini que pour y>0 (ce qui est cohérent avec un modèle exponentiel toujours positif).
  • Arrondir les z_i trop tôt, ce qui fausse l'ajustement : garder assez de décimales.

Pour l'épreuve

L'ajustement exponentiel est la combinaison parfaite de deux chapitres clés des maths complémentaires : le logarithme népérien et l'ajustement affine. L'idée à retenir est qu'un changement de variable z=\ln(y) transforme une relation exponentielle en relation affine, que l'on sait traiter par les moindres carrés. Le va-et-vient logarithme/exponentielle doit être parfaitement maîtrisé, en particulier la transformation \mathrm{e}^{ax+b}=\mathrm{e}^{b}\mathrm{e}^{ax} et la propriété réciproque \ln(k\,\mathrm{e}^{ax})=\ln k+ax. Les sujets de bac portent souvent sur des phénomènes de croissance (population, bactéries, capital placé à intérêts composés) ou de décroissance (radioactivité, refroidissement d'un corps, dépréciation d'un bien). Pensez à toujours justifier le recours au modèle exponentiel par l'alignement des points (x\,;\ln y), idéalement confirmé par un coefficient de corrélation |r| proche de 1 pour la série (x\,;z), et à conclure dans la variable initiale y. Une erreur fréquente est de présenter le résultat sous la forme z=ax+b en oubliant de revenir à y : le correcteur attend la fonction y=k\,\mathrm{e}^{ax} explicitée. Enfin, lorsque l'on estime une valeur, on précise s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation, exactement comme pour l'ajustement affine, et l'on confronte le résultat au bon sens (un effectif de bactéries reste positif et entier, par exemple).