Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
La convexité décrit la forme « creusée » de la courbe d'une fonction f définie sur un intervalle I, de courbe \mathcal{C}_f.
f est convexe sur I si, pour tout couple de points A et B de \mathcal{C}_f, la corde [AB] est située au-dessus de la courbe entre A et B.
f est concave sur I si toute corde [AB] est située en dessous de la courbe entre A et B.
Caractérisations équivalentes pour f dérivable :
f convexe sur I \iff \mathcal{C}_f est au-dessus de toutes ses tangentes \iff f' est croissante sur I.
f concave sur I \iff \mathcal{C}_f est en dessous de toutes ses tangentes \iff f' est décroissante sur I.
Formules
Fonctions de référence à mémoriser :
Convexes : x\mapsto x^2, x\mapsto \mathrm{e}^x, x\mapsto \dfrac{1}{x} sur ]0\,;+\infty[.
Concaves : x\mapsto \sqrt{x}, x\mapsto \ln(x) sur ]0\,;+\infty[.
Inégalité de convexité : si f est convexe sur [a\,;b], alors pour tout x\in[a\,;b], f(x) est inférieur ou égal à l'ordonnée de la corde (AB) en x, et supérieur ou égal à l'ordonnée de chaque tangente.
Méthodes type bac
Lire la convexité sur un graphique : courbe « en vallée » \Rightarrow convexe ; courbe « en colline » \Rightarrow concave.
Justifier sans calcul : invoquer la position courbe/cordes ou courbe/tangentes.
Encadrer une valeur : déterminer l'équation de la corde (coefficient directeur \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}), calculer son ordonnée au point voulu, puis appliquer l'inégalité de convexité.
Pièges
Ne pas confondre sens de variation (signe de f') et convexité (sens de variation de f'). Une fonction décroissante peut être convexe (ex. x\mapsto \dfrac{1}{x} sur ]0\,;+\infty[).
La corde n'est au-dessus de la courbe qu'entre ses extrémités A et B, pas au-delà.
Un point d'inflexion n'est pas un extremum : la courbe y traverse sa tangente, elle ne rebrousse pas chemin.
Pour l'épreuve
Sache lire et justifier la convexité graphiquement (cordes, tangentes) et analytiquement (variations de f', signe de f''). Une question fréquente : « justifier que la courbe est au-dessus de telle tangente », ce qui revient simplement à invoquer la convexité de f. En économie, relier convexité de C et croissance du coût marginal C' est un classique.