Calcul d'aires

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Aire sous une courbe positive. Si f est continue et positive sur [a\,;b], l'aire du domaine compris entre \mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites x = a, x = b est \mathcal{A} = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \quad \text{(en unités d'aire).}

Fonction négative. Si f \leqslant 0 sur [a\,;b], l'aire géométrique (toujours positive) est -\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_a^b |f(x)|\,\mathrm{d}x.

Aire entre deux courbes. Si f et g sont continues sur [a\,;b] avec f(x) \geqslant g(x) pour tout x \in [a\,;b], l'aire du domaine compris entre les deux courbes est \mathcal{A} = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x. On intègre la fonction du dessus moins la fonction du dessous.

Unité d'aire. Si l'axe des abscisses est gradué en p cm par unité et l'axe des ordonnées en q cm par unité, alors 1 u.a. correspond à p \times q cm^2.

Formules à connaître

  • f \geqslant 0 : \mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b f.
  • f \leqslant 0 : \mathcal{A} = -\displaystyle\int_a^b f.
  • Entre deux courbes (f \geqslant g) : \mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b (f - g).
  • Signe variable : \mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b |f| (découper aux racines).

Méthodes type bac

1. Étudier le signe de f (ou de f - g) sur [a\,;b] avant d'intégrer. 2. Découper aux points d'annulation si le signe change, et sommer les aires en valeur absolue. 3. Trouver les bornes entre deux courbes : résoudre f(x) = g(x) pour les abscisses des intersections. 4. Calculer l'intégrale par primitive, puis convertir en cm^2 si demandé.

Pièges fréquents

  • Oublier de vérifier le signe : intégrer une fonction négative donne une intégrale négative, pas une aire.
  • Inverser dessus et dessous (l'aire deviendrait négative).
  • Ne pas découper aux changements de signe : on obtient une aire algébrique au lieu de l'aire géométrique.
  • Oublier la conversion en unités d'aire / cm^2 quand l'énoncé la réclame.

Exemple détaillé

Calculons l'aire entre \mathcal{C}_f et \mathcal{C}_g où f(x) = 2x et g(x) = x^2. On cherche d'abord les bornes en résolvant f(x) = g(x) : 2x = x^2, soit x(x - 2) = 0, donc x = 0 ou x = 2. Sur [0\,;2], f(x) - g(x) = 2x - x^2 = x(2 - x) \geqslant 0, donc f est au-dessus de g. L'aire vaut \mathcal{A} = \int_0^2 (2x - x^2)\,\mathrm{d}x = \left[x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = \left(4 - \dfrac{8}{3}\right) - 0 = \dfrac{12 - 8}{3} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33 \text{ u.a.} Si le repère a pour unités 1 cm sur chaque axe, alors \mathcal{A} = \dfrac{4}{3} cm^2.

Pour l'épreuve

Le calcul d'aires est l'aboutissement du chapitre intégration. Le réflexe : déterminer qui est au-dessus (signe de f - g), poser l'intégrale de la différence, calculer par primitives. Pour une seule courbe, surveiller le signe de f et découper aux racines. Donnez le résultat en unités d'aire, puis en cm^2 si le repère est gradué. La calculatrice vérifie la valeur numérique de l'intégrale.