Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

Formules à connaître

• Relation de Pascal : \dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k}.
• Bords : \dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1.
• Symétrie : \dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}.
• Somme d'une ligne : \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} = 2^n.
• Binôme de Newton : (a+b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} a^{n-k} b^{k}.

Méthodes type bac

Construire ligne par ligne. Pour obtenir une ligne, on encadre par des 1 et on additionne les termes adjacents de la ligne précédente. Exemple : de 1, 4, 6, 4, 1 on tire 1, 5, 10, 10, 5, 1.

Justifier \sum \dbinom{n}{k} = 2^n. On compte les sous-ensembles d'un ensemble à n éléments : chaque élément est pris ou non (2 choix), soit 2^n sous-ensembles ; en les classant par taille k, on obtient \sum_k \dbinom{n}{k}. C'est aussi le binôme appliqué à a = b = 1.

Pièges fréquents

• La ligne n contient n + 1 termes (de k = 0 à k = n).
• Bien aligner les termes lors de l'addition : chaque terme intérieur est la somme des DEUX du dessus.
• Dans le binôme, l'exposant de a est n - k et celui de b est k : ne pas les inverser.

Pour l'épreuve

Le triangle de Pascal offre une méthode de calcul des coefficients binomiaux sans factorielle, utile quand la calculatrice est indisponible ou pour vérifier. Connais la relation de Pascal, la symétrie, la somme 2^n et le lien avec le binôme de Newton. Ces propriétés apparaissent dans les questions de raisonnement et dans les développements algébriques liés à la loi binomiale. Entraîne-toi à reconstruire de tête les premières lignes du triangle (jusqu'à n = 6) : cela permet de vérifier instantanément un coefficient lu à la calculatrice. La relation de Pascal se démontre aussi par un argument combinatoire élégant : pour choisir k éléments parmi n, on distingue selon qu'un élément fixé est pris (il reste \dbinom{n-1}{k-1} choix) ou non (il reste \dbinom{n-1}{k} choix). Ce type de raisonnement, apprécié au baccalauréat, illustre le lien profond entre dénombrement et algèbre.