Continuité en un point ou sur un intervalle

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Soit f définie sur un intervalle I et a \in I.

Continuité en un point. f est continue en a lorsque \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a). f est continue sur I si elle est continue en tout point de I. Intuitivement, on trace sa courbe sans lever le crayon.

Continuité des fonctions usuelles. Les fonctions polynômes, rationnelles (sur leur ensemble de définition), x \mapsto \sqrt{x}, x \mapsto |x|, \exp, \ln, \cos et \sin sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition. La somme, le produit, le quotient (dénominateur non nul) et la composée de fonctions continues sont continus.

Lien avec la dérivabilité. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. Attention : la réciproque est fausse. x \mapsto |x| est continue en 0 mais n'y est pas dérivable.

Image d'un segment. Si f est continue sur [a\,;b], alors f est bornée et atteint son maximum et son minimum.

Théorème du transfert (continuité et suites). Si f est continue en \ell et si (u_n) tend vers \ell, alors f(u_n) \to f(\ell).

Formules à connaître

  • f continue en a \iff \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = f(a).
  • Pour une fonction définie par morceaux, la continuité au point de raccord a exige l'égalité de la valeur et des deux limites latérales.
  • Prolongement par continuité en a : si \lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell (finie), on pose f(a) = \ell.

Méthodes type bac

1. Justifier une continuité : invoquer les opérations sur les fonctions continues (« somme, produit, quotient de fonctions continues »), sans calcul de limite si la fonction est usuelle. 2. Fonction définie par morceaux : la continuité est automatique sur l'intérieur de chaque morceau ; on n'étudie que les points de raccord en comparant valeur et limites latérales. 3. Forme indéterminée \frac{0}{0} : factoriser (polynômes) ou multiplier par la quantité conjuguée (racines) pour lever l'indétermination, puis prolonger par continuité. 4. Reconnaître un nombre dérivé : \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \to f'(a) quand x \to a ; certaines limites se calculent ainsi.

Pièges fréquents

  • Confondre « définie en a » et « continue en a » : il faut comparer la limite à la valeur.
  • Oublier que la continuité d'une fonction par morceaux n'a besoin d'être vérifiée qu'aux points de raccord.
  • Croire que continue implique dérivable : c'est l'inverse qui est vrai.
  • Écrire \lim f = f(a) alors que les limites latérales diffèrent.

Pour l'épreuve

La continuité est rarement une question isolée : elle sert de prérequis au théorème des valeurs intermédiaires et à l'étude des suites u_{n+1} = f(u_n). Sachez justifier en une phrase la continuité d'une fonction usuelle. Pour un raccord, présentez clairement les trois quantités (limite gauche, valeur, limite droite) et concluez par une équation sur le paramètre. La calculatrice ne sert qu'à vérifier une valeur numérique ; la rédaction reste théorique.