Convexité et dérivée seconde

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Soit f deux fois dérivable sur un intervalle I. Le théorème fondamental du chapitre est :

f est convexe sur I \iff f''(x)\ge 0 pour tout x\in I.
f est concave sur I \iff f''(x)\le 0 pour tout x\in I.

Justification : f convexe équivaut à f' croissante, ce qui équivaut à f''\ge 0 (signe de la dérivée de f').

Formules

f(x)=ax^2+bx+c : f''(x)=2a (signe constant).
f(x)=\mathrm{e}^x : f''(x)=\mathrm{e}^x>0, convexe sur \mathbb{R}.
f(x)=\ln x : f''(x)=-\dfrac{1}{x^2}<0, concave sur ]0\,;+\infty[.
f(x)=\sqrt{x} : f''(x)=-\dfrac{1}{4}x^{-3/2}<0, concave sur ]0\,;+\infty[.

Méthodes type bac

1. Calculer f'(x). 2. Calculer f''(x) et le factoriser. 3. Dresser le tableau de signe de f''. 4. Conclure : f''>0\Rightarrow convexe, f''<0\Rightarrow concave ; chaque changement de signe de f'' donne un point d'inflexion.

Pour justifier une inégalité du type f(x)\ge (tangente), on montre que f est convexe (donc au-dessus de ses tangentes).

Pièges

Étudier le signe de f'', pas celui de f' : f' donne les variations, f'' donne la convexité.
Une inégalité large f''\ge 0 suffit pour la convexité ; un point isolé où f''=0 ne casse pas la convexité.
Factoriser f'' avant d'étudier le signe : oublier la factorisation conduit à des erreurs sur les bornes.

Pour l'épreuve

C'est le chapitre charnière entre dérivation et étude graphique. Une question type bac demande de calculer f'', d'en étudier le signe, de conclure sur convexité/concavité, puis de localiser les points d'inflexion. Rédige le tableau de signe de f'' avec soin : c'est lui qui porte tous les points. Pense aussi à l'usage de la convexité pour établir des inégalités (courbe au-dessus de sa tangente).