Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a\,;b]. Alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une unique solution dans [a\,;b].

Différence avec le TVI. Le TVI assure seulement l'existence. La stricte monotonie garantit en plus l'unicité : la fonction prend chaque valeur intermédiaire une fois et une seule.

_Figure : f continue et strictement croissante sur [a ; b], la droite y = k coupe la courbe en un unique point d'abscisse α._

Extension (intervalle ouvert ou non borné). Sur ]a\,;b[, [a\,;+\infty[, \mathbb{R}, etc., on remplace f(a) et f(b) par les limites de f aux bornes. Exemple : f continue strictement croissante sur \mathbb{R} avec \lim\limits_{-\infty} f = -\infty et \lim\limits_{+\infty} f = +\infty : tout k \in \mathbb{R} a un unique antécédent.

Formules à connaître

  • Stricte croissance \iff f'(x) > 0 (sauf points isolés) ; stricte décroissance \iff f'(x) < 0.
  • k admissible : k compris entre les valeurs (ou limites) de f aux bornes.
  • Une fonction continue strictement monotone réalise une bijection de [a\,;b] sur [f(a)\,;f(b)] (ou l'intervalle correspondant).

Méthodes type bac

1. « Montrer que l'équation f(x) = k a une unique solution » : étudier le signe de f' (stricte monotonie), calculer les valeurs/limites aux bornes, vérifier que k est dans l'image, conclure par le corollaire. 2. Encadrer la solution : changement de signe puis balayage à la calculatrice. 3. Discuter selon k : tableau de variations, puis comptage des solutions branche par branche.

_Figure : tableau de variations d'une fonction strictement croissante, la valeur k est atteinte une seule fois, en α._

Pièges fréquents

  • Conclure à l'unicité sans avoir prouvé la stricte monotonie.
  • Oublier d'inclure les limites quand l'intervalle est non borné.
  • Affirmer « f' > 0 » alors que f' s'annule sur tout un sous-intervalle (là, f n'est plus strictement monotone).
  • Donner k hors de l'image et conclure quand même à une solution.

Exemple détaillé

Soit f(x) = x^3 + x - 1 sur \mathbb{R}. On a f'(x) = 3x^2 + 1 > 0, donc f est continue et strictement croissante sur \mathbb{R}. Comme \lim\limits_{x \to -\infty} f = -\infty et \lim\limits_{x \to +\infty} f = +\infty, 0 est compris entre ces limites, et le corollaire du TVI donne une unique solution \alpha à l'équation f(x) = 0. Pour l'encadrer : f(0) = -1 < 0 et f(1) = 1 > 0, donc \alpha \in\, ]0\,;1[ ; puis f(0{,}6) = 0{,}216 + 0{,}6 - 1 = -0{,}184 < 0 et f(0{,}7) = 0{,}343 + 0{,}7 - 1 = 0{,}043 > 0, d'où \alpha \in\, ]0{,}6\,;0{,}7[.

Pour l'épreuve

C'est l'outil n°1 pour les questions « montrer que f(x) = 0 admet une unique solution \alpha ». Apprenez la phrase type : « f est continue et strictement croissante sur I, 0 est compris entre \lim\limits_a f et \lim\limits_b f, donc d'après le corollaire du TVI l'équation f(x) = 0 admet une unique solution \alpha dans I. » Puis encadrez \alpha avec la calculatrice.