Définition de la dérivée

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a\in I.

Le taux d'accroissement de f entre a et a+h (pour h\neq 0, a+h\in I) est : \tau(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.

C'est le coefficient directeur de la sécante joignant les points A(a\,;f(a)) et M(a+h\,;f(a+h)).

On dit que f est dérivable en a lorsque f'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} existe et est un nombre réel (limite finie). Ce réel f'(a) s'appelle le nombre dérivé de f en a.

Une écriture équivalente, en posant x=a+h, est : f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}.

Théorème : si f est dérivable en a, alors f est continue en a. La réciproque est fausse (contre-exemple : x\mapsto |x| en 0).

Formules

  • Définition : f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.
  • Cas du carré : \dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}=2a+h\to 2a.
  • Cas de l'inverse : \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{-1}{a(a+h)}\to -\dfrac{1}{a^2}.
  • Cas de la racine : \dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}\to \dfrac{1}{2\sqrt{a}}.
  • Approximation affine : f(a+h)\approx f(a)+h\,f'(a) pour h proche de 0.

Méthodes type bac

1. Calculer un nombre dérivé par la définition : écrire \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}, développer le numérateur, factoriser par h, simplifier, puis faire h\to 0. 2. Gérer une racine : multiplier par la quantité conjuguée pour faire disparaître la forme \dfrac{0}{0}. 3. Lire un nombre dérivé sur un graphique : f'(a) est le coefficient directeur de la tangente tracée en a (lecture « pour 1 vers la droite, je monte/descends de combien »). 4. Justifier la dérivabilité : il suffit de montrer que la limite du taux existe et est finie.

Pièges

  • Ne pas confondre f(a) (image), f'(a) (nombre dérivé) et le taux \tau(h) (avant passage à la limite).
  • Une limite infinie du taux d'accroissement signifie que f n'est pas dérivable en a (tangente verticale), par exemple \sqrt{x} en 0.
  • La continuité n'entraîne pas la dérivabilité : un point anguleux casse la dérivabilité.
  • Ne pas oublier de simplifier par h avant de faire tendre h vers 0, sinon on tombe sur \dfrac{0}{0}.

Pour l'épreuve

Maîtrise la définition par cœur : on te demande régulièrement de « revenir à la définition de la dérivée » pour un calcul simple (x^2, \frac{1}{x}, \sqrt{x}). Pense à factoriser par h puis à simplifier. Relie toujours le nombre dérivé à l'interprétation géométrique (coefficient directeur de la tangente), qui prépare le chapitre suivant sur l'équation de la tangente. Une question d'épreuve typique fournit directement le taux d'accroissement déjà calculé sous une forme du type 2a+h-3, et te demande la valeur de f'(a) : tu dois alors reconnaître que faire tendre h vers 0 revient à supprimer le terme en h, ce qui donne immédiatement f'(a)=2a-3. Pense aussi à mentionner que la dérivabilité entraîne la continuité, car c'est un argument souvent valorisé dans les questions de cours. Enfin, garde en tête que la calculatrice est autorisée : elle peut servir à vérifier numériquement un nombre dérivé en calculant le taux d'accroissement pour de très petites valeurs de h, mais la rédaction doit toujours s'appuyer sur le calcul exact de la limite et non sur une simple valeur approchée affichée à l'écran.