Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
La fonction logarithme népérien, notée \ln, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur ]0\,;+\infty[ par :
\ln(x)=y \iff \mathrm{e}^y=x \quad (x>0).
Conséquences immédiates :
\ln(1)=0 et \ln(\mathrm{e})=1.
\mathrm{e}^{\ln x}=x pour tout x>0 ; \ln(\mathrm{e}^x)=x pour tout x\in\mathbb{R}.
Les courbes de \ln et de \exp sont symétriques par rapport à la droite y=x.
Formules
\mathrm{e}^x=k \iff x=\ln k (pour k>0).
\ln x=k \iff x=\mathrm{e}^k (pour tout k, solution dans ]0\,;+\infty[).
Signe : \ln x<0 sur ]0\,;1[, \ln(1)=0, \ln x>0 sur ]1\,;+\infty[.
Méthodes type bac
Résoudre une équation exponentielle : isoler \mathrm{e}^{\square}, prendre \ln des deux membres (autorisé car les deux membres sont strictement positifs).
Résoudre une équation logarithmique : vérifier d'abord le domaine (x>0), puis appliquer \mathrm{e}^{\square}.
Équation se ramenant au second degré : poser X=\mathrm{e}^x (avec X>0), résoudre l'équation polynomiale, ne garder que les racines positives, puis revenir à x=\ln X.
Pièges
\ln n'est jamais définie pour x\le 0 : toujours vérifier le domaine avant de résoudre.
Quand on pose X=\mathrm{e}^x, la contrainte X>0 élimine d'éventuelles racines négatives.
\ln(a+b)\neq \ln a+\ln b : ne pas inventer de propriété additive.
Pour l'épreuve
Le logarithme sert d'outil pour « descendre » une inconnue d'un exposant. Les équations de demi-vie ou de doublement (du type P_0\mathrm{e}^{kt}) tombent régulièrement : exprime la solution exacte avec \ln, puis donne une valeur approchée à la calculatrice. Soigne la rédaction des équivalences et la vérification du domaine.