Définitions et généralités : les différents modes de génération
Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes (LaTeX)
Une suite numérique (u_n) est une fonction définie sur \mathbb{N} (ou sur une partie \{n_0, n_0+1, \dots\} de \mathbb{N}) à valeurs dans \mathbb{R}. À chaque entier n elle associe un réel u_n, le terme de rang n. On note la suite (u_n)_{n\ge 0} et le terme général u_n.
Il existe trois grands modes de génération.
Forme explicite : u_n=f(n), où f est une fonction de la variable n. Le terme de rang n se calcule directement à partir de n. Exemple : u_n=3n^2-1 donne u_5=3\times 25-1=74 sans calcul intermédiaire.
Relation de récurrence : on donne un terme initial u_0 et une relation u_{n+1}=f(u_n). Chaque terme dépend du précédent. Exemple : u_0=2, u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3.
Algorithme : une boucle bornée applique n fois la relation de récurrence et renvoie u_n.
Formules
Suite arithmétique : u_{n+1}=u_n+r, forme explicite u_n=u_0+nr.
Suite géométrique : u_{n+1}=q\,u_n, forme explicite u_n=u_0\times q^{\,n}.
Évolution en pourcentage : augmenter de t\,\% revient à multiplier par le coefficient 1+\dfrac{t}{100}.
Méthodes type bac
Calculer les premiers termes d'une suite récurrente : on applique la relation pas à pas, en gardant les valeurs exactes le plus longtemps possible avant d'arrondir. Par exemple, pour u_0=2 et u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3, on obtient u_1=4, u_2=5, u_3=5{,}5, et l'on observe que les termes se rapprochent de 6.
Passer d'un mode à l'autre : reconnaître une suite arithmétique ou géométrique dans une relation de récurrence permet de donner directement la forme explicite, indispensable pour étudier la limite. Une relation u_{n+1}=u_n+r révèle une suite arithmétique, une relation u_{n+1}=q\,u_n révèle une suite géométrique.
Modéliser une situation concrète : on repère si l'évolution est additive (suite arithmétique, on ajoute une constante à chaque étape) ou multiplicative (suite géométrique, on multiplie par un coefficient à chaque étape), puis on écrit la relation de récurrence et, si possible, la forme explicite.
Conjecturer une forme explicite : en calculant plusieurs termes d'une suite donnée par récurrence, on devine souvent une expression de u_n en fonction de n, que l'on démontre ensuite par récurrence.
Pièges
Une forme explicite et une relation de récurrence décrivent parfois la même suite, mais ce sont deux écritures différentes : ne pas confondre u_n (terme courant) et u_{n+1} (terme suivant).
Avec la calculatrice, ne pas arrondir trop tôt les termes intermédiaires d'une suite récurrente, sinon les termes suivants accumulent l'erreur et la valeur affichée devient fausse.
u_{n+1}=q\,u_n donne u_n=u_0\times q^{\,n} et non u_0\times q^{\,n+1} : le rang 0 correspond à l'exposant 0. Vérifier le rang de départ imposé par l'énoncé.
Une suite indexée à partir de n=1 (et non n=0) décale toutes les formules : lire attentivement le rang initial.
Pour l'épreuve
Sache identifier le mode de génération dès la lecture de l'énoncé : « u_n=\dots » est explicite, « u_0=\dots et u_{n+1}=\dots » est récurrent. Pour toute étude de limite, cherche à obtenir la forme explicite, car c'est elle qui permet d'appliquer directement les limites de référence (en particulier q^n pour les suites géométriques). Les suites arithmétiques et géométriques sont les modèles de référence à reconnaître immédiatement ; la plupart des exercices de terminale s'y ramènent par un changement de variable. Garde des écritures exactes (fractions, racines) dans la rédaction et réserve la calculatrice à la vérification numérique.