Définition géométrique de l'intégrale

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Intégrale d'une fonction continue positive. Soit f continue et positive sur [a\,;b]. L'intégrale \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x est, par définition, l'aire (en unités d'aire) du domaine \mathcal{D} délimité par la courbe \mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites verticales x = a et x = b.

Unité d'aire. Dans un repère orthogonal (O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}), l'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle de côtés \vec{\imath} et \vec{\jmath}.

Cas d'une fonction négative. Si f \leqslant 0 sur [a\,;b], alors \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x est l'opposé de l'aire comprise entre \mathcal{C}_f et l'axe : elle est négative.

Aire algébrique (signe variable). Si f change de signe, l'intégrale est la somme des aires des morceaux situés au-dessus de l'axe (comptées positivement) et de ceux situés en dessous (comptées négativement).

Propriétés immédiates. \displaystyle\int_a^a f = 0 et \displaystyle\int_b^a f = -\displaystyle\int_a^b f.

Formules à connaître

  • \displaystyle\int_a^b k\,\mathrm{d}x = k(b - a).
  • Triangle : \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}.
  • Trapèze : \dfrac{(B + b)}{2}\times h.
  • Demi-disque de rayon r : \dfrac{1}{2}\pi r^2.

Méthodes type bac

1. Calcul par aire géométrique : quand \mathcal{C}_f est une droite ou un arc de cercle, identifier le rectangle, triangle, trapèze ou demi-disque et appliquer la formule d'aire. 2. Aire algébrique : découper [a\,;b] aux points d'annulation de f, calculer chaque aire avec son signe, puis sommer. 3. Lecture graphique : repérer les sommets, en déduire les dimensions, exprimer l'aire.

Pièges fréquents

  • Oublier le signe négatif pour les portions situées sous l'axe.
  • Confondre l'intégrale (aire algébrique, peut être négative) et l'aire géométrique (toujours positive).
  • Inverser les bornes sans changer le signe.
  • Oublier que l'aire est exprimée en unités d'aire (sauf si le repère est gradué en unités usuelles).

Exemple détaillé

Calculons \displaystyle\int_{-1}^{2} g(x)\,\mathrm{d}x pour g(x) = x + 1. La courbe est une droite ; g(-1) = 0 et g(2) = 3, et g \geqslant 0 sur [-1\,;2]. Le domaine sous \mathcal{C}_g est un triangle de base [-1\,;2] (longueur 3) et de hauteur g(2) = 3. Son aire vaut \dfrac{3 \times 3}{2} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5, donc \displaystyle\int_{-1}^{2}(x+1)\,\mathrm{d}x = 4{,}5. On retrouvera le même résultat plus tard par primitive : \left[\dfrac{x^2}{2} + x\right]_{-1}^{2} = (2 + 2) - \left(\dfrac{1}{2} - 1\right) = 4 - (-0{,}5) = 4{,}5. La cohérence des deux méthodes est rassurante.

Pour l'épreuve

Avant tout calcul de primitives, le bac aime tester l'interprétation géométrique : reconnaître un trapèze, un triangle ou un demi-cercle pour calculer une intégrale sans primitive. Soignez le signe pour les fonctions négatives. La valeur moyenne se déduit directement de l'aire. La calculatrice peut donner une valeur approchée de l'intégrale pour vérifier.