Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
Soit f deux fois dérivable sur un intervalle I. La dérivée seconde est f''=(f')' : on dérive f pour obtenir f', puis on dérive f' pour obtenir f''.
Théorème central (lien avec la convexité) :
f est convexe sur I \iff f''(x)\ge 0 pour tout x\in I.
f est concave sur I \iff f''(x)\le 0 pour tout x\in I.
Le signe de la dérivée seconde est donc l'outil analytique pour déterminer la convexité.
Formules
(x^n)''=n(n-1)x^{n-2}.
(\mathrm{e}^x)''=\mathrm{e}^x et plus généralement (\mathrm{e}^{ax})''=a^2\mathrm{e}^{ax}.
(\ln x)''=-\dfrac{1}{x^2} sur ]0\,;+\infty[.
\left(\dfrac{1}{x}\right)''=\dfrac{2}{x^3}.
Produit : (uv)'=u'v+uv', à appliquer deux fois.
Méthodes type bac
Calculer f'' : dériver soigneusement f, simplifier f' (factoriser si possible), puis dériver à nouveau. Pour un produit u\mathrm{e}^{ax}, on factorise systématiquement par \mathrm{e}^{ax}.
Étudier le signe de f'' : factoriser f''. Comme \mathrm{e}^{ax}>0 et x^2>0, le signe se ramène souvent à celui d'un polynôme de degré 1 ou 2.
Ne pas oublier que \mathrm{e}^{ax}>0 toujours : le signe de f'' ne dépend alors que du facteur polynomial.
Bien dériver le facteur \mathrm{e}^{-x} : (\mathrm{e}^{-x})'=-\mathrm{e}^{-x} (le signe moins se propage).
Une erreur de simplification sur f' se répercute sur f'' : vérifier f' avant de continuer.
Pour l'épreuve
Le calcul de f'' est rarement une fin en soi : il sert à étudier la convexité ou à localiser un point d'inflexion. Rédige proprement chaque étape de dérivation. Pour les produits de la forme P(x)\mathrm{e}^{ax}, factorise par l'exponentielle dès f' : cela allège considérablement le calcul de f'' et l'étude du signe.