Épreuve de Bernoulli

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues : le succès S, de probabilité p, et l'échec \bar{S}, de probabilité q = 1 - p. C'est le modèle le plus simple : pile/face, défectueux/conforme, atteint/raté.

La variable aléatoire X qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec suit la loi de Bernoulli de paramètre p, notée \mathcal{B}(p).

Le succès n'est pas nécessairement un événement « favorable » : c'est simplement l'issue choisie par l'énoncé et associée à la probabilité p.

Formules à connaître

  • p = P(S) et q = P(\bar{S}) = 1 - p, avec p + q = 1.
  • Loi de Bernoulli : P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 - p.
  • Espérance : E(X) = p.
  • Variance : V(X) = p(1-p) = pq.
  • Écart-type : \sigma(X) = \sqrt{p(1-p)}.

Méthodes type bac

Identifier une épreuve de Bernoulli. On vérifie qu'il y a bien deux issues complémentaires. On définit clairement le succès, puis on calcule p (souvent par dénombrement : nombre de cas favorables sur nombre de cas total).

Calculer les caractéristiques. Pour la loi de Bernoulli, les formules sont directes : E(X) = p et V(X) = p(1-p). Inutile de repasser par le tableau pour ces cas.

Pièges fréquents

  • Ne pas confondre « épreuve » de Bernoulli (une seule expérience) et « schéma » de Bernoulli (répétition n fois).
  • Le succès est défini par l'énoncé : si le succès est « tirer une boule noire », alors p est la probabilité d'une noire, même si « noire » paraît défavorable.
  • V(X) = p(1-p) : ne pas écrire V(X) = p (cela donnerait l'espérance).

Pour l'épreuve

L'épreuve de Bernoulli est la brique élémentaire de tout le programme de probabilités discrètes. Maîtrise la définition (deux issues), le calcul de p par dénombrement, et les formules E(X) = p, V(X) = p(1-p). Une fois cette épreuve identifiée et répétée de façon indépendante, on entre dans le schéma de Bernoulli et la loi binomiale, qui forment le cœur de l'épreuve. Dans la rédaction, prends l'habitude de nommer explicitement le succès : « on appelle succès l'événement... de probabilité p = \dots ». Cette phrase, souvent attendue par le correcteur, sécurise la suite de l'exercice et évite les confusions entre p et q. Le vocabulaire (succès, échec, paramètre) doit être employé avec rigueur : c'est lui qui structure tout le raisonnement probabiliste de la classe de Terminale.