Équations de la forme y'=ay

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

On considère l'équation différentielle linéaire homogène du premier ordre y'=ay, où a est un réel non nul et y une fonction dérivable sur \mathbb{R}.

Théorème : les solutions sur \mathbb{R} de y'=ay sont exactement les fonctions y(x)=Ce^{ax}, \qquad C\in\mathbb{R}.

Pour une condition initiale y(t_0)=y_0, il existe une unique solution. En particulier, si t_0=0, alors C=y(0)=y_0 et la solution est y(t)=y_0\,e^{at}.

Interprétation : l'équation y'=ay signifie que le taux de variation y' est proportionnel à la quantité y. C'est le modèle de la croissance/décroissance exponentielle.

Formules

Solutions : y(x)=Ce^{ax}.
Avec condition initiale en 0 : y(t)=y(0)\,e^{at}.
Détermination de a : a=\dfrac{1}{t_1}\ln\!\left(\dfrac{y(t_1)}{y(0)}\right).
Demi-vie (cas a<0) : T=-\dfrac{\ln 2}{a}=\dfrac{\ln 2}{|a|}.

Méthodes type bac

1. Résoudre y'=ay : écrire directement y(x)=Ce^{ax} (résultat de cours), puis exploiter la condition initiale pour trouver C. 2. Modèle de décroissance (a<0) : reconnaître radioactivité, refroidissement, élimination d'un médicament ; la solution est y_0e^{at} avec a<0. 3. Calculer une demi-vie : résoudre y(t)=\dfrac{y_0}{2}, ce qui donne t=\dfrac{\ln 2}{|a|}. 4. Trouver a : utiliser deux valeurs connues, isoler l'exponentielle, passer au logarithme.

Pièges

Bien mettre a (et pas -a) en exposant : pour y'=-2y, la solution est Ce^{-2x}.
C=y(0) seulement parce que e^{0}=1 ; pour une condition en t_0\neq 0, il faut résoudre Ce^{at_0}=y_0.
\ln 0{,}5=-\ln 2 : penser au signe quand on résout e^{at}=0{,}5.
La calculatrice est autorisée : donner aussi des valeurs approchées quand l'énoncé le demande, sans oublier la valeur exacte.

Pour l'épreuve

C'est le cœur du chapitre des équations différentielles en maths complémentaires. La solution y=Ce^{ax} est à connaître par cœur. Les exercices se présentent presque toujours sous forme de modélisation (radioactivité, médicament, population) : sache poser l'équation, écrire la solution, déterminer C avec la condition initiale, puis répondre aux questions numériques (valeurs, demi-vie) à la calculatrice. Une difficulté fréquente consiste à déterminer le coefficient a à partir de deux observations : on forme le rapport \dfrac{y(t_1)}{y(0)}=e^{at_1}, puis on isole a à l'aide du logarithme népérien. Pour une demi-vie, on résout y(t)=\dfrac{y_0}{2}, ce qui conduit à e^{at}=\dfrac{1}{2} et donc à t=\dfrac{\ln 2}{|a|} : retiens bien que \ln \frac{1}{2}=-\ln 2, source classique d'erreur de signe. Soigne la mise en forme des résultats numériques : on donne d'abord la valeur exacte (avec exponentielle ou logarithme), puis sa valeur approchée arrondie selon la précision demandée, obtenue à la calculatrice. Enfin, n'hésite pas à interpréter le signe de a : positif pour une croissance, négatif pour une décroissance qui tend vers zéro, ce qui donne du sens physique à la modélisation.