Équations de la forme y'=ay+b

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

On considère l'équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants y'=ay+b, où a est un réel non nul et b un réel.

Théorème : les solutions sur \mathbb{R} de y'=ay+b sont les fonctions y(x)=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}, \qquad C\in\mathbb{R}.

La fonction constante y_p=-\dfrac{b}{a} est une solution particulière (elle vérifie y_p'=0=a y_p+b). La solution générale s'obtient en ajoutant à y_p la solution générale de l'équation homogène y'=ay, à savoir Ce^{ax}.

Une condition initiale détermine la constante C et donne une unique solution.

Formules

  • Solutions : y(x)=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}.
  • Solution particulière constante : y_p=-\dfrac{b}{a} (poser y'=0).
  • Détermination : C=y(0)+\dfrac{b}{a}.
  • Newton : T(t)=T_{\text{amb}}+(T_0-T_{\text{amb}})e^{-kt}.

Méthodes type bac

1. Méthode en trois étapes : (a) trouver la solution particulière constante -\dfrac{b}{a} ; (b) ajouter les solutions homogènes Ce^{ax} ; (c) déterminer C avec la condition initiale. 2. Mettre sous forme standard : développer une équation du type y'=-k(y-A) en y'=-ky+kA pour identifier a=-k et b=kA. 3. Étudier le comportement à long terme : si a<0, la solution tend vers l'équilibre -\dfrac{b}{a} ; si a>0, elle diverge. 4. Interpréter : l'équilibre -\dfrac{b}{a} correspond à une valeur stable (température ambiante, niveau d'une cuve, concentration limite).

Pièges

  • La solution particulière est -\dfrac{b}{a}, avec le signe moins : pour y'=-2y+6, c'est -\dfrac{6}{-2}=3.
  • Ne pas oublier d'ajouter le terme homogène Ce^{ax} : la solution n'est pas seulement la constante.
  • Bien développer une loi de Newton -k(T-A) avant d'identifier a et b.
  • C se détermine après avoir écrit la forme complète, en y injectant la condition initiale.

Pour l'épreuve

Les équations y'=ay+b modélisent les phénomènes avec « valeur d'équilibre » : refroidissement de Newton, charge d'un condensateur, niveau d'une cuve, concentration limite d'un médicament. Le réflexe : solution particulière constante -\dfrac{b}{a}, puis +Ce^{ax}, puis condition initiale. Sache aussi conclure sur la limite quand t\to+\infty : pour a<0, le système rejoint son équilibre -\dfrac{b}{a}. Un point souvent piégeux est la mise sous forme standard : une loi du type T'=-k(T-T_{\text{amb}}) doit d'abord être développée en T'=-kT+kT_{\text{amb}} pour identifier sans ambiguïté a=-k et b=kT_{\text{amb}} avant d'appliquer la formule. Vérifie toujours la cohérence physique : pour le refroidissement de Newton, la limite -\dfrac{b}{a}=T_{\text{amb}} correspond bien à la température ambiante, ce qui valide le calcul. Lorsque l'énoncé demande une valeur à un instant donné, calcule la valeur exacte puis l'arrondi à la calculatrice. Cette structure « équilibre plus exponentielle qui s'amortit » revient dans presque tous les sujets : maîtriser les trois étapes (solution particulière, solution homogène, condition initiale) garantit l'essentiel des points de la partie équations différentielles.