Équations différentielles : définition et généralités

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Une équation différentielle est une égalité dont l'inconnue est une fonction y et qui fait intervenir y et une ou plusieurs de ses dérivées (y', y''…). En terminale (maths complémentaires), on se limite aux équations du premier ordre linéaires.

Une solution de l'équation différentielle sur un intervalle I est une fonction y dérivable sur I telle que l'égalité soit satisfaite pour tout x (ou t) de I.

Une condition initiale (par exemple y(t_0)=y_0) permet de sélectionner une unique solution parmi la famille des solutions : c'est le problème dit « de Cauchy ».

Structure des solutions d'une équation linéaire y'=ay+f : la solution générale est la somme de la solution générale de l'équation homogène y'=ay et d'une solution particulière de l'équation complète.

Formules

  • Vérification : remplacer y par f et y' par f', vérifier l'égalité.
  • Équation homogène y'=ay : solutions y(x)=Ce^{ax}, C\in\mathbb{R}.
  • Structure : (solution générale) = (solutions homogènes) + (solution particulière).
  • Condition initiale y(t_0)=y_0 : détermine C.

Méthodes type bac

1. Vérifier qu'une fonction est solution : calculer la (les) dérivée(s), substituer dans l'équation, conclure que l'égalité est vraie pour tout x. 2. Exploiter une condition initiale : écrire la solution générale avec sa constante C, puis résoudre l'équation obtenue en substituant la valeur imposée. 3. Démontrer la structure : montrer que si g et f sont solutions de l'équation complète, alors g-f est solution de l'homogène. 4. Reconnaître le type : repérer la forme y'=ay, y'=ay+b ou y'=ay+f pour appliquer la bonne méthode.

Pièges

  • L'inconnue est une fonction, pas un nombre : une solution est une fonction.
  • Une condition initiale ne « résout » pas l'équation à elle seule ; elle fixe seulement la constante.
  • Pour vérifier qu'une fonction est solution, l'égalité doit être vraie pour tout x, pas seulement en un point.
  • Ne pas oublier la solution particulière dans la structure : la solution générale de y'=ay+b n'est pas seulement Ce^{ax}.

Pour l'épreuve

Ce chapitre pose le vocabulaire indispensable. On te demandera typiquement de vérifier qu'une fonction donnée est solution, puis d'utiliser une condition initiale pour déterminer la constante. La démonstration « g-f est solution de l'homogène » est un classique qui justifie la structure des solutions : sache la rédiger proprement. Lorsque l'énoncé fournit une solution particulière f et te demande de trouver toutes les solutions, la méthode attendue consiste à poser la différence g-f, à montrer qu'elle vérifie l'équation homogène associée, puis à conclure en ajoutant la solution particulière à la solution générale de l'homogène. Cette démarche, qui reflète le principe de superposition, structure presque tous les exercices d'équations différentielles. Veille à toujours préciser sur quel intervalle tu travailles et à rappeler qu'une solution est une fonction dérivable, et non un simple nombre. Enfin, lors d'une vérification, n'oublie pas de conclure explicitement que l'égalité est satisfaite pour tout x réel : c'est cette mention qui valide formellement que la fonction proposée est bien solution sur l'intervalle considéré.