Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Pour une variable aléatoire discrète, E(X)=\sum x_i\,p_i. Pour une variable à densité, la somme devient une intégrale et la probabilité p_i devient l'élément f(x)\,\mathrm{d}x.
Définition (espérance). Si X a pour densité f sur [a\,;b] : E(X)=\int_a^b x\,f(x)\,\mathrm{d}x.
Définition (variance). V(X)=\displaystyle\int_a^b \big(x-E(X)\big)^2 f(x)\,\mathrm{d}x, mais en pratique on utilise la formule de König-Huygens : V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2,\qquad\text{avec } E(X^2)=\int_a^b x^2 f(x)\,\mathrm{d}x.
Définition (écart-type). \sigma(X)=\sqrt{V(X)}.
Calculer E(X) : on multiplie la densité par x, puis on intègre. Attention aux puissances : si f(x)=k\,x^2, alors x\,f(x)=k\,x^3.
Calculer V(X) en trois temps : (1) E(X), (2) E(X^2)=\int x^2 f, (3) V(X)=E(X^2)-E(X)^2. Toujours dans cet ordre. Vérifier que la variance trouvée est positive : sinon il y a une erreur.
Espérance d'une transformation affine : si Y=aX+b, inutile de refaire une intégrale, on applique E(Y)=aE(X)+b et V(Y)=a^2V(X). Par exemple, si E(X)=2 et V(X)=0{,}5, alors E(3X-1)=3\times 2-1=5 et V(3X-1)=9\times 0{,}5=4{,}5.
Interpréter : E(X) est la moyenne (centre de gravité de l'aire) ; \sigma(X) mesure la dispersion autour de cette moyenne, dans la même unité que X. Une espérance s'exprime dans l'unité de X (des minutes, des années), une variance dans cette unité au carré, et l'écart-type de nouveau dans l'unité de X.
Soigner les primitives : la plupart des erreurs viennent du calcul d'intégrale. Pour f(x)=k\,x^n, on a \displaystyle\int x\,f(x)\,\mathrm{d}x=\int k\,x^{n+1}\,\mathrm{d}x=k\,\dfrac{x^{n+2}}{n+2}. Vérifier l'exposant à chaque étape.
L'espérance et la variance d'une loi à densité prolongent naturellement le cas discret : on remplace la somme par une intégrale. La technique repose entièrement sur le calcul intégral : il faut savoir intégrer rapidement x^n, gérer les constantes multiplicatives, et substituer les bornes sans erreur. La formule de König-Huygens V(X)=E(X^2)-E(X)^2 est de loin la plus efficace : on évite ainsi de développer (x-E(X))^2, qui conduirait à une intégrale bien plus lourde. Présentez toujours le calcul en trois étapes nettes (E(X), E(X^2), puis V), ce qui sécurise les points partiels même en cas d'erreur d'arithmétique sur l'une des intégrales. Pensez à vérifier la cohérence : l'espérance doit tomber à l'intérieur de [a\,;b], et la variance doit être positive (sinon, il y a une erreur de signe ou de carré). Pour les lois à support non borné comme la loi exponentielle, ces intégrales deviennent des intégrales impropres et l'on retient directement E(X)=\dfrac1\lambda et V(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}. Enfin, la calculatrice (autorisée) permet de contrôler une intégrale numériquement : un bon réflexe pour vérifier un résultat sans perdre de temps en recommençant tout le calcul à la main.