Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Pour une variable aléatoire X suivant la loi binomiale \mathcal{B}(n\,;p), les caractéristiques se calculent directement à partir des deux paramètres n et p : E(X) = np, \qquad V(X) = np(1-p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}.
Ces formules viennent du fait que X est la somme de n variables de Bernoulli \mathcal{B}(p) indépendantes : chacune a pour espérance p et pour variance p(1-p). L'espérance d'une somme est la somme des espérances (np) ; la variance d'une somme de variables indépendantes est la somme des variances (np(1-p)).
Calcul direct. Dès qu'on a identifié \mathcal{B}(n\,;p), on applique les formules sans sommer les probabilités. Par exemple pour \mathcal{B}(10\,;0{,}3) : E(X) = 3, V(X) = 2{,}1, \sigma(X) = \sqrt{2{,}1} \approx 1{,}449.
Retrouver un paramètre. Si l'énoncé donne E(X) et n, on isole p = \dfrac{E(X)}{n}, puis on calcule V(X).
Interpréter. E(X) = np s'interprète comme le nombre moyen de succès attendu : c'est souvent demandé en plus du calcul.
Les formules E(X) = np et V(X) = np(1-p) doivent être automatiques : elles tombent dans presque tous les exercices de loi binomiale. Sache aussi les utiliser « à l'envers » pour retrouver n ou p. L'intervalle [E(X) - 2\sigma(X)\,;E(X) + 2\sigma(X)] revient comme zone de fluctuation typique : il prépare le chapitre sur l'intervalle de fluctuation. Pense à interpréter tes résultats en mots : l'espérance est le nombre moyen de succès attendu, l'écart-type mesure l'amplitude des fluctuations autour de cette moyenne. Une étourderie fréquente consiste à donner la variance là où l'on demande l'écart-type, ou inversement : relis bien la consigne et arrondis l'écart-type seulement à la fin. Comme ces formules découlent du caractère « somme de Bernoulli » de la loi binomiale, leur démonstration peut être demandée et mérite d'être comprise, pas seulement mémorisée. Un dernier conseil pratique : ces trois quantités se calculent directement à partir de n et p, sans qu'il soit jamais nécessaire de sommer les probabilités P(X = k) une à une. Si un exercice te demande l'espérance d'une loi binomiale et que tu te lances dans une longue somme, c'est le signe que tu as oublié la formule E(X) = np : un simple produit suffit. Cette économie de calcul est précisément ce que le programme attend en maths complémentaires.