Etude de la fonction logarithme népérien

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

La fonction \ln est dérivable sur ]0\,;+\infty[ et : \ln'(x)=\dfrac{1}{x}. Comme \dfrac{1}{x}>0, \ln est strictement croissante sur ]0\,;+\infty[.

Limites aux bornes : \lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty. La droite x=0 est asymptote verticale.

_Figure : courbe de ln passant par (1 ; 0) et (e ; 1), avec l'asymptote verticale x = 0._

Convexité : \ln''(x)=-\dfrac{1}{x^2}<0, donc \ln est concave : sa courbe est en dessous de chacune de ses tangentes.

_Figure : tableau de variations de ln sur ]0 ; +∞[._

Formules

  • \ln'(x)=\dfrac{1}{x}, \ln''(x)=-\dfrac{1}{x^2}.
  • Tangente en 1 : y=x-1, d'où \ln(x)\le x-1 pour tout x>0.
  • \left(\dfrac{\ln x}{x}\right)'=\dfrac{1-\ln x}{x^2}.

Méthodes type bac

  • Étudier une fonction contenant \ln : préciser le domaine, dériver (le \dfrac{1}{x} se combine au reste), factoriser f', étudier le signe, dresser le tableau de variations avec les limites.
  • Tangente : appliquer y=f'(a)(x-a)+f(a) ; en a=1 pour \ln, on retrouve y=x-1.
  • Inégalité via concavité : la courbe d'une fonction concave est sous ses tangentes.
  • Nombre de solutions de f(x)=0 : combiner monotonie par morceaux et corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Pièges

  • Domaine : \ln n'existe que pour les arguments strictement positifs.
  • En 0^+, la limite est -\infty (pas 0) : penser à l'asymptote verticale.
  • Le signe de f' contenant \dfrac{1}{x} se détermine en réduisant au même dénominateur.

Pour l'épreuve

L'étude de fonction « avec un \ln » est un grand classique : dérivée, signe, tableau, limites, puis souvent une équation f(x)=0 traitée par TVI. La fonction \dfrac{\ln x}{x} et son maximum en \mathrm{e} reviennent souvent. Mémorise l'inégalité \ln(x)\le x-1 : elle sert d'argument élégant dans de nombreuses démonstrations.