Etude, variations de la fonction exponentielle

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

La fonction exponentielle est dérivable sur \mathbb{R} et égale à sa propre dérivée : (e^x)'=e^x. Comme e^x>0 pour tout réel x, on en déduit que \exp est strictement croissante sur \mathbb{R}.

_Figure : tableau de variations de la fonction exponentielle sur ℝ._

De plus, (e^x)''=e^x>0 : la fonction exponentielle est convexe sur \mathbb{R}, donc sa courbe est située au-dessus de toutes ses tangentes. En particulier, au point d'abscisse 0 la tangente a pour équation y=x+1, d'où l'inégalité de référence : e^x\ge x+1 \quad\text{pour tout réel } x, avec égalité uniquement en x=0.

_Figure : courbe de la fonction exponentielle, avec sa tangente en 0 d'équation y = x + 1._

Formules

  • (e^x)'=e^x et \left(e^{u}\right)'=u'\,e^{u}.
  • Exemples : \left(e^{ax+b}\right)'=a\,e^{ax+b}.
  • Convexité : (e^x)''=e^x>0.
  • Tangente en 0 : y=x+1.
  • Inégalité : e^x\ge x+1 (et e^x\ge 1+x+\dfrac{x^2}{2} pour x\ge 0, hors programme mais utile).

Méthodes type bac

1. Dériver e^{u} : repérer u, calculer u', écrire u'e^{u}. Ne jamais oublier le facteur u'. 2. Étudier une fonction du type g(x)e^{u(x)} : dériver avec la formule du produit, factoriser par e^{u}>0, puis étudier le signe du facteur restant. 3. Quotient \dfrac{e^x}{x} : appliquer la formule du quotient, factoriser le numérateur par e^x. 4. Démontrer une inégalité : étudier la fonction « différence » f(x)= membre de gauche - membre de droite, montrer que son minimum est \ge 0.

Pièges

  • \left(e^{u}\right)'=u'e^{u}, pas e^{u} tout court : le facteur u' est essentiel.
  • e^{u}>0 toujours : le signe de f' est donné par le facteur algébrique, jamais par l'exponentielle.
  • Ne pas confondre e^{ax} et a e^{x} : leurs dérivées diffèrent.
  • Pour les racines d'un trinôme « moche » (discriminant non parfait), la calculatrice est autorisée : on donne les valeurs approchées tout en gardant la forme exacte 1\pm\sqrt{3}.

Pour l'épreuve

L'étude de fonctions du type produit ou quotient avec exponentielle est un grand classique. Le réflexe gagnant : factoriser par e^{u}, qui est strictement positif, pour ne plus étudier qu'un signe algébrique simple. Mémorise aussi l'inégalité e^x\ge x+1 et la tangente y=x+1 en 0, qui reviennent dans de nombreuses démonstrations. Lorsqu'on dérive une fonction comme (x-2)e^x ou (x^2-2)e^{-x}, la formule du produit donne une somme que l'on regroupe systématiquement en mettant e^x (ou e^{-x}) en facteur ; il ne reste alors qu'un polynôme dont on étudie le signe, éventuellement à l'aide du discriminant. Quand les racines du polynôme ne sont pas « rondes », comme 1\pm\sqrt{3}, on conserve la forme exacte dans le tableau de variations et on indique les valeurs approchées entre parenthèses, calculées à la calculatrice. La démonstration de l'inégalité e^x\ge x+1 par l'étude de la fonction x\mapsto e^x-x-1 est un grand classique du sujet : sache la reproduire, car elle illustre parfaitement le lien entre signe de la dérivée, minimum d'une fonction et inégalité à établir.