Formules des dérivées usuelles

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout point de I. La fonction qui à x associe f'(x) est la fonction dérivée f'.

Théorème central : sur un intervalle I, - si f'(x)>0 sur I, alors f est strictement croissante sur I ; - si f'(x)<0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I ; - si f'(x)=0 sur I, alors f est constante sur I.

Un extremum local d'une fonction dérivable est atteint en un point où f' s'annule en changeant de signe.

Formules

Dérivées usuelles :

(k)'=0, (x)'=1, (x^n)'=n\,x^{n-1}.
(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} sur ]0\,;+\infty[.
\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2} sur \mathbb{R}^*.
(e^x)'=e^x ; (\ln x)'=\dfrac{1}{x} sur ]0\,;+\infty[.

Opérations :

(u+v)'=u'+v', (k\,u)'=k\,u'.
(uv)'=u'v+uv'.
\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, \left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}.

Méthodes type bac

1. Identifier u et v avant d'appliquer la formule produit ou quotient, et calculer u' et v' séparément. 2. Factoriser f' : pour étudier le signe, on factorise (par exemple (x+1)e^x) ; le facteur e^x>0 ne change jamais le signe. 3. Dresser le tableau de variations : signe de f', flèches, valeurs aux bornes et aux extremums. 4. Quotient : le dénominateur étant v^2>0, le signe de f' est celui du numérateur u'v-uv'.

Pièges

Au quotient, ne pas inverser l'ordre : c'est u'v-uv' (signe moins) et non uv'-u'v.
Ne pas oublier le carré au dénominateur dans la formule du quotient.
(x^n)'=n x^{n-1} : faire attention à diminuer l'exposant de 1, pas de n.
Un extremum exige un changement de signe de f' : une dérivée qui s'annule sans changer de signe ne donne pas d'extremum.

Pour l'épreuve

Les formules de dérivation sont la boîte à outils de toute étude de fonction. On les combine systématiquement avec le tableau de signes de f' pour conclure sur les variations et les extremums. Entraîne-toi à dériver produits et quotients sans erreur de signe, puis à factoriser f' proprement : c'est ce qui fait gagner les points dans les exercices d'étude de fonction du sujet de maths complémentaires. Une copie soignée présente d'abord les fonctions auxiliaires u et v avec leurs dérivées, puis applique la formule, et enfin factorise le résultat avant d'en lire le signe : sauter l'étape de factorisation est la principale source d'erreurs. Lorsque la fonction contient une exponentielle, le facteur e^{u} étant strictement positif, il ne joue jamais sur le signe de la dérivée, ce qui simplifie grandement l'étude. Vérifie toujours la cohérence de ton tableau de variations : une dérivée positive doit correspondre à une flèche montante, et un extremum local n'apparaît qu'en un point où la dérivée change effectivement de signe. La calculatrice sert à contrôler l'allure de la courbe, mais le tableau de variations doit être justifié par le calcul du signe de f'.