Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes (LaTeX)
Étudier la limite d'une fonction f décrit le comportement de f(x) quand x tend vers une valeur (finie a, ou \pm\infty).
Limite finie en l'infini : \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell : f(x) se rapproche de \ell ; graphiquement, asymptote horizontale y=\ell.
Limite infinie en un point : \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty : f(x) dépasse toute valeur ; graphiquement, asymptote verticale x=a.
Limites à gauche et à droite : \displaystyle\lim_{x\to a^-} (pour x<a) et \displaystyle\lim_{x\to a^+} (pour x>a). La limite en a n'existe que si ces deux limites coïncident.
Formules
Limites de référence :
\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty,\quad \lim_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty,\quad \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x^n}=0
\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty,\quad \lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty
En -\infty : x^n\to+\infty si n pair, \to-\infty si n impair.
Méthodes type bac
Polynôme à l'infini : ne garder que le terme de plus haut degré. Par exemple 2x^3-5x+1 se comporte comme 2x^3, donc tend vers +\infty en +\infty et -\infty en -\infty.
Fonction rationnelle en un point qui annule le dénominateur : étudier le signe du numérateur (en général non nul) et le signe du dénominateur de part et d'autre (0^+ ou 0^-) pour conclure +\infty ou -\infty.
Fonction rationnelle à l'infini : factoriser numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de x, simplifier, puis utiliser \dfrac{1}{x^k}\to 0.
Somme avec un terme négligeable : pour 3+\dfrac{2}{x^2}, le terme \dfrac{2}{x^2}\to 0 en \pm\infty, donc la limite est 3.
Pièges
En une valeur a qui annule le dénominateur, distinguer \displaystyle\lim_{x\to a^+} et \displaystyle\lim_{x\to a^-} : les signes peuvent différer (souvent +\infty d'un côté et -\infty de l'autre).
\dfrac{1}{x} n'a pas de limite en 0 (les deux côtés divergent en sens opposés) ; en revanche \dfrac{1}{x^2}\to+\infty des deux côtés car x^2>0.
En -\infty, la parité de l'exposant change le signe de la limite d'une puissance : x^2\to+\infty mais x^3\to-\infty.
Ne pas confondre limite en l'infini (comportement asymptotique) et limite en un point fini (valeur ou divergence locale).
Pour l'épreuve
Pour une fonction rationnelle, repère d'abord les valeurs interdites (zéros du dénominateur) et étudie le signe du dénominateur autour de chacune pour les limites locales. À l'infini, factorise par le terme dominant et cite les limites usuelles (\dfrac{1}{x^k}\to 0, x^n\to\pm\infty). Une limite finie en l'infini ou infinie en un point se traduit immédiatement en asymptote, ce qui sera réinvesti dans le chapitre suivant. La rédaction doit toujours justifier le signe du dénominateur quand on conclut à une limite infinie en un point : c'est le passage le plus délicat et le plus valorisé.