Interprétation graphique des limites de fonctions : les asymptotes
Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes (LaTeX)
Les asymptotes traduisent graphiquement les limites d'une fonction.
Asymptote horizontale : si \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell (ou en -\infty), la droite d'équation y=\ell est asymptote horizontale à la courbe \mathcal{C}_f.
Asymptote verticale : si \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty (limite à droite ou à gauche), la droite d'équation x=a est asymptote verticale à \mathcal{C}_f.
La position relative de \mathcal{C}_f par rapport à une asymptote horizontale y=\ell s'étudie par le signe de f(x)-\ell.
Formules
Asymptote horizontale en +\infty : y=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) (si finie).
Asymptote verticale : x=a pour chaque a où \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty.
Position : f(x)-\ell>0 ⟹ courbe au-dessus ; <0 ⟹ en dessous.
Méthodes type bac
Trouver une asymptote horizontale : calculer la limite à l'infini (+\infty et -\infty) ; si elle est finie et vaut \ell, la droite y=\ell est asymptote horizontale.
Trouver une asymptote verticale : repérer les valeurs interdites, puis étudier les limites à gauche et à droite via le signe du dénominateur. Pour \dfrac{2x^2+1}{x^2-4}, les candidats sont x=2 et x=-2.
Préciser la position de la courbe par rapport à une asymptote horizontale : étudier le signe de f(x)-\ell (positif → au-dessus, négatif → en dessous).
Synthétiser : dresser la liste complète des asymptotes (horizontales et verticales) à la fin de l'étude des limites.
Pièges
Une courbe peut traverser son asymptote horizontale en des points finis : l'asymptote ne décrit que le comportement à l'infini, pas le voisinage.
En une asymptote verticale, ne pas oublier d'étudier les deux côtés : les signes peuvent être opposés (+\infty d'un côté, -\infty de l'autre selon le signe du dénominateur).
Une valeur interdite n'est asymptote verticale que si le numérateur ne s'y annule pas aussi ; sinon, il peut y avoir une limite finie après simplification.
L'asymptote horizontale peut être différente en +\infty et en -\infty : toujours calculer les deux limites.
Pour l'épreuve
Toujours relier explicitement une limite à son asymptote : « comme \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=3, la droite y=3 est asymptote horizontale à \mathcal{C}_f ». Pour les fonctions rationnelles, l'asymptote horizontale se lit sur le rapport des termes dominants (lorsque les degrés sont égaux) et les asymptotes verticales sur les zéros du dénominateur. La position courbe/asymptote est une question fréquente : étudier le signe de f(x)-\ell et conclure proprement. Ce chapitre relie directement le calcul de limites à la lecture graphique : il prépare l'étude complète de fonctions (variations, asymptotes, tracé) au programme de terminale.