Interprétation graphique et équation de la tangente

Maths Complémentaires · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Soit f une fonction dérivable en a et \mathcal{C}_f sa courbe représentative. La tangente à \mathcal{C}_f au point A(a\,;f(a)) est la droite passant par A et de coefficient directeur f'(a). C'est la position limite des sécantes (AM) lorsque M tend vers A.

Équation de la tangente au point d'abscisse a : y=f'(a)\,(x-a)+f(a).

Cas particulier : si f'(a)=0, la tangente est horizontale, d'équation y=f(a) ; ceci se produit notamment aux extremums locaux d'une fonction dérivable.

Formules

  • Tangente : y=f'(a)(x-a)+f(a).
  • Forme développée (équation réduite) : y=f'(a)\,x+\big(f(a)-a\,f'(a)\big).
  • Approximation affine locale : f(x)\approx f'(a)(x-a)+f(a) pour x proche de a.
  • Position courbe/tangente : étudier le signe de d(x)=f(x)-\big(f'(a)(x-a)+f(a)\big).

Méthodes type bac

1. Écrire une tangente : calculer f(a), calculer f'(a), puis substituer dans y=f'(a)(x-a)+f(a) et développer si on demande l'équation réduite. 2. Tangentes horizontales : résoudre f'(x)=0 ; chaque solution donne une tangente horizontale (souvent un extremum). 3. Approximation d'un nombre : utiliser la tangente comme valeur approchée locale (ex. \sqrt{4{,}2}\approx 2{,}05 avec la tangente de \sqrt{x} en 4). 4. Position relative : factoriser f(x)-y_T(x) pour en lire le signe ; un facteur du type (x-a)^3 révèle un point d'inflexion.

Pièges

  • Ne pas oublier le terme +f(a) : la tangente ne passe pas par l'origine en général.
  • f'(a) est le coefficient directeur, pas l'ordonnée à l'origine.
  • Une tangente horizontale signale un extremum si f' change de signe ; sinon, c'est un palier (point d'inflexion à tangente horizontale).
  • L'approximation affine n'est fiable que près du point de contact ; elle se dégrade quand on s'éloigne.

Pour l'épreuve

L'équation de la tangente est une formule à connaître sans hésiter. On la combine très souvent avec l'étude de fonction (tangente horizontale aux extremums) et avec la convexité (courbe au-dessus/en dessous des tangentes). Sache aussi factoriser f(x)-y_T(x) pour conclure sur la position relative : c'est un classique du sujet type bac. Un exercice complet enchaîne fréquemment trois étapes : d'abord déterminer l'équation de la tangente en un point donné, puis chercher les abscisses des tangentes horizontales en résolvant f'(x)=0, et enfin étudier la position de la courbe par rapport à l'une de ces tangentes. Lorsque la différence f(x)-y_T(x) se factorise sous la forme (x-a)^3, la courbe traverse la tangente en a : c'est la signature d'un point d'inflexion. À l'inverse, une différence du type (x-a)^2\times g(x) avec g de signe constant indique que la courbe reste du même côté de la tangente. La calculatrice peut aider à conjecturer la position relative en traçant la courbe et la tangente, mais la justification attendue reste l'étude algébrique du signe de la différence.